Validez de un marco de referencia diferente al utilizado en la solución de Landau y Lifshitz

Question

Para el siguiente problema, primer problema del capítulo 2 (página 16) del texto de Mecánica Clásica de Landau y Lifshitz:

Estoy tratando de ver si el dibujo que hice al resolver originalmente el problema antes de ver la solución

es válido. La respuesta sería entonces $\frac{\cos(\theta_1)}{\cos(\theta_2)}=$ ...

En base a la solución, el dibujo adecuado debe ser

¿Puedo obtener alguna opinión sobre si los diferentes casos son equivalentes?

Edición: para solucionar la confusión geométrica.

Aparta de tu mente la solución que nos dan L & L y limítate a leer el problema. No hay ninguna razón para NO dibujar este montaje, ¿verdad?

Si estamos de acuerdo en eso, mi pregunta se reduce a una trigonométrica. ¿Por qué utilizar $\theta_2$ y $\phi_2$ en lugar de $\theta_1$ y $\phi_1$ ?

Answer 1

Solución

La componente del momento debe ser constante a lo largo del Plano $(x)$ y no la Normal $(y)$ . Esto se debe a que la energía potencial es independiente de $x$ . $$U=\begin{cases}U_1&y<0\\U_2&y>0 \end{cases}$$ Así, tenemos las ecuaciones \begin{align*} v_1\sin\theta_1&=v_2\sin\phi_1\tag{1}\\ \frac12mv_1^2+U_1&=\frac12mv_2^2+U_2\tag{2}\\ \end{align*} Poner el valor de $v_2$ de la ecuación $(1)$ en $(2)$ se obtiene \begin{align*} \frac12mv_1^2+U_1&=\frac12m\left(v_1\frac{\sin\theta_1}{\sin\phi_1}\right)^2+U_2 \\ (U_1-U_2)&=\frac12mv_1^2\left[\left(\frac{\sin\theta_1}{\sin\phi_1}\right)^2-1\right] \\ \boxed{\frac{\sin\theta_1}{\sin\phi_1}=\sqrt{1+\frac{2}{mv_1^2}(U_1-U_2)}}\tag{1} \end{align*} Así, obtenemos la relación entre los ángulos.

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Respuesta a su pregunta

Por qué utilizar $\theta_2$ y $\phi_2$ en lugar de $\theta_1$ y $\phi_1$ ?

La respuesta podría ser diferente si se utiliza la identidad trigonométrica $\cos\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)=\sin\alpha$ en el numerador y/o denominador de la ecuación $(1)$ pero es exactamente igual en todas las apariciones siguientes físicamente porque todas son iguales a la misma cantidad física. $$\frac{\cos\theta_2}{\cos\phi_2}=\frac{\cos\theta_2}{\sin\phi_1}=\frac{\sin\theta_1}{\cos\phi_2}=\frac{\sin\theta_1}{\sin\phi_1}=\sqrt{1+\frac{2}{mv_1^2}(U_1-U_2)}=\frac{\frac{v_1^{\text{along plane}}}{{v_1}}}{\frac{v_2^{\text{along plane}}}{{v_2}}}$$

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Tenga en cuenta que la solución del libro tiene $\theta_1=\theta_1$ y $\theta_2=\phi_1$ sin que se utilicen otros ángulos en esta respuesta o en su figura.

Answer 2

OK dado el diagrama del problema que presentas en tu cuarta figura, la respuesta es la misma si utilizas pares de ángulos relativos a la normal, o pares de ángulos relativos al plano. [Mi notación es un poco diferente. Los subíndices 1 y 2 son las regiones 1 y 2 respectivamente. El ángulo theta es relativo a la normal y el ángulo phi es relativo al plano]. Sabemos:

$$V_1sin(\theta_1) = V_2sin(\theta_2)$$

Pero por la geometría del problema también sabemos que $$\theta_x = \frac{\pi}{2} - \phi_x$$

Si sustituimos esto en lo anterior, obtenemos: $$V_1sin(\frac{\pi}{2} - \phi_1) = V_2sin(\frac{\pi}{2} - \phi_2)$$

Y hay una identidad trigonométrica que dice $$sin(\frac{\pi}{2} -\theta) = cos(\theta)$$

[Ver wikipedia aquí , sección "Reflejos, desplazamientos y periodicidad"].

Y esto da, por supuesto $$V_1cos(\phi_1) = V_2cos(\phi_2)$$ que es como usted vio el problema.

Así que las razones de senos o cosenos en el problema son las mismas, siempre y cuando utilices los ángulos correctos.

Sameer Baheti también lo señala correctamente.