Dejemos que $f(X)$ sea un cúbico con 3 raíces reales, coeficientes enteros irreducibles sobre $\mathbb{Q}$ . Sea $\alpha$ sea una de estas raíces, y consideremos el campo numérico $\mathbb{Q}(\alpha)$ .
El teorema de la unidad de Dirichlet dice que tenemos dos unidades fundamentales $u_1,u_2$ .
Aparentemente, la afirmación de que los enteros $m$ y $n$ satisfacer $\pm u_1^m u_2^n=x+y\alpha$ para algunos $x,y \in \mathbb{Z}$ equivale a la afirmación de que $Trace((\beta-\gamma) u_1^m u_2^n)=0$ donde $\beta$ y $\gamma$ son las otras raíces de $f$ .
Esto me confunde ya que no es obvio que $\beta$ y $\gamma$ en realidad se encuentran en $\mathbb{Q}(\alpha)$ - esto ciertamente no sería cierto si dejamos de lado la suposición de que todas las raíces son reales. ¿Puede alguien ayudar con esto?
[EDIT: La etiqueta de eqns Diofantino viene del hecho de que esta declaración es de un documento de Ljunggren que resuelve la ecuación x^3-3xy^2-y^3=1. Está escrito en alemán, así que es posible que lo haya entendido mal y la afirmación de mi pregunta no sea lo que realmente dijo...]
[Segunda edición: Para este caso particular el discriminante es 81, un cuadrado perfecto, por lo que su grupo de Galois es A3 y por lo tanto el campo de división tiene grado 3 sobre $\mathbb{Q}$ . Así que $\beta$ y $\gamma$ realmente están en $\mathbb{Q}(\alpha)$ . Sin embargo, no veo cómo demostrar el resultado dado (si no es calculando las otras raíces en términos de $\alpha$ y verificarla, lo que sería difícil de hacer en general].
