En el Página de Wikipedia para cubos diádicos, el artículo afirma que si $\Delta^{\alpha}$ denota todos los cubos diádicos en $\mathbb{R}^{n}$ traducido por un vector $\alpha\in\mathbb{R}^{n}$ entonces
Existe una constante universal $C>0$ tal que para cualquier bola de radio $r<1/3$ Hay un $\alpha\in\left\{0,1/3\right\}^{n}$ y un cubo $Q$ en $\Delta^{\alpha}$ que contiene $B$ cuyo diámetro no es superior a $Cr$ .
Esto parece falso. En una dimensión, considere el intervalo $I=[-\epsilon/2,1/3+\epsilon/2]$ para $1\gg\epsilon>0$ . Para $\epsilon>0$ suficientemente pequeño, cualquier intervalo de este tipo $J$ debe tener $\left|J\right|=2^{l}\geq 1/2$ . Los únicos intervalos diádicos y $1/3$ -traducir los intervalos diádicos que se cruzan y $I$ y satisfacer $\left|I\right|\geq 1/2$ son de la forma $[0,2^{l}), [-2^{l},0)$ y $[1/3,2^{l}+1/3), [-2^{l}+1/3,1/3)$ Ninguno de los cuales contiene $I$ .
De hecho, jugando con el $\epsilon$ parece que para cualquier longitud estrictamente mayor que $1/3$ podemos encontrar un intervalo $I$ que no está contenido en un cubo en $\Delta^{\alpha}$ para $\alpha\in\left\{0,1/3\right\}$ .
Si $\left|I\right|\leq 1/3$ (es decir $r\leq 1/6$ ), entonces creo que la afirmación anterior es cierta. Sea $l\in\mathbb{Z}$ sea tal que
$$2^{l}\in\begin{cases}(4\left|I\right|,8\left|I\right|], & {\left|I\right|\leq1/8} \\ [1], & {1/8<\left|I\right|\leq 1/3}\end{cases}$$
Supongamos que $I$ no está contenido en ningún intervalo diádico de la generación $l$ . Entonces existe un punto final $x=2^{l}p$ de un intervalo diádico $J$ que pertenece al interior de $I$ . Desde $\bigcup_{m\in\mathbb{Z}}[m+1/3,m+1+1/3)=\mathbb{R}$ y $2^{l}\leq 1$ se deduce que existe un $J^{*}\in\Delta^{1/3}$ tal que $x\in J^{*}$ . Si $y=q2^{l}+1/3$ es un punto final de $J^{*}$ entonces
$$\displaystyle\left|x-y\right|=2^{l}\left|\dfrac{2^{-l}}{3}+q-p\right|\geq\dfrac{2^{l}}{3}\displaystyle\begin{cases}= 1/3, & {1/8<\left|I\right|\leq 1/3} \\ >\left|I\right|, & {\left|I\right|\leq 1/8}\end{cases}$$
desde $q-p$ es un número entero, $-l\geq 0$ y $2^{-l}/3$ nunca es un número entero. Dado que $\left|x-z\right|<1/3$ para cualquier punto final $z$ de $I$ se deduce que $I\subset J^{*}$ .
Sin embargo, no creo que nada de esto importe realmente para la aplicación de este "truco". Por ejemplo, con los operadores maximales, basta con el escalamiento y la convergencia monótona para considerar los supremos sobre todas las bolas o cubos de diámetro $\leq R$ para alguna elección de $R>0$ .
