Valor límite de $f_n(x)$ ?

Question

Tengo una consulta relacionada con la búsqueda de la función límite de la siguiente secuencia de funciones. Pido disculpas de antemano si el problema es demasiado básico.

Si $f_n(x) = 2 n x ~;~ x \in \big [0, \dfrac {1}{n} \big ]$ Entonces, ¿cómo podemos encontrar el valor de $$\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)?$$

El planteamiento original del problema era : $f_n$ es la secuencia de todas las funciones reales definidas en $[0,1]$ mediante el establecimiento de :

$ f_n(x) = \begin{cases} 2nx & ;0 \le x \leq \dfrac {1}{n} \\ \dfrac{2n(1-x)}{n-1} & ;\dfrac {1}{n} \leq x\leq 1 \\ \end{cases}$

Intento:

Cuando $0 \le x \le \dfrac {1}{n}$

entonces : $ 0 \le x \le \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac {1}{n}$

$\implies $ Cuando $n \rightarrow \infty, x \rightarrow 0$

Entonces, $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 2 \times \infty \times 0$ forma indeterminada.

Mi libro de texto menciona que este límite es igual a $0$ sin embargo.

¿Podría alguien explicar cómo se calcula este límite?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Arreglar cualquier $x \neq 0$ . Mientras $n$ es lo suficientemente grande, $x \notin [0,1/n]$ para que $f_n(x)=\frac{2n(1-x)}{n-1} \to 2(1-x)$ como $n \to +\infty$ . Si $x=0$ entonces $f_n(0)=0$ .