Proyección asociada a la descomposición $H=M⊕N$

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y sea $M$ y $N$ sean dos subespacios cerrados en $H$ tal que $H=MN$ .

Estoy tratando de encontrar una fórmula que dé $P_{M,N}$ (la proyección sobre $M$ con respecto a $N$ ) en términos de $P_{M,M^{\bot }}$ (la proyección ortogonal sobre $M$ ) y $P_{N,N^{\bot }}$ (la proyección ortogonal sobre $N$ ).

Gracias.

Answer 1

Vamos a escribir $\,Q=P_{M,M^\perp}$ y $\,R=P_{N,N^\perp}$ para las proyecciones ortogonales.

En términos generales, $P_{M,N}$ y $Q$ tienen multiplicidades de valores propios que coinciden. Además, poseen el mismo subespacio de soporte $\,M=\operatorname{im}P_{M,N}=\operatorname{im}Q=\,$ el eigespacio para el valor propio $1$ . Así que busquemos una transformación de similitud $T$ entrelazándolos, es decir $$TP_{M,N}=Q\,T\tag{1}$$ con $T$ invertible.

Necesariamente, $T$ tiene que mapear $N$ a $\ker Q = M^\perp$ , y esto se cumple eligiendo $T=\mathbb 1-QR\,$ : $$Tn \:=\: (\mathbb 1-QR)n \:=\: n-Qn \:=\: (\mathbb 1-Q)n\:\in M^\perp\quad\forall n\in N,$$ por lo que $(1)$ se satisface cuando se restringe a $N$ .
Para $m\in M$ el RHS evalúa a $$QTm \:=\: (Q-QR)m \:=\: m-QRm \:=\: Tm\,,$$ y $(1)$ se satisface de nuevo, por lo que se satisface en general.
$T=\mathbb 1-QR\,$ es invertible porque $\|QR\|<1$ que a su vez se deduce(*) de la hipótesis central $H=M\oplus N=\operatorname{im}Q\oplus\operatorname{im}R\,$ .
Así, $$P_{M,N}\:=\:(\mathbb 1-QR)^{-1}Q\,(\mathbb 1-QR)\tag{2}$$ es una fórmula como se pide.

_{* <a href="https://math.stackexchange.com/q/3092323/316749">Estimación de la norma para un producto de dos proyectores ortogonales</a>}