Volumen de la intersección entre el cono y el cilindro

Question

Quiero encontrar el volumen de la región dada por la intersección del cono $x^2 + y^2 = z^2$ y el cilindro $y^2 + z^2 = 4$ . He probado lo siguiente (asumiendo sólo coordenadas positivas por lo que multiplico el resultado por $8$ ): integrar con respecto a $z$ . Cuando $z \leq \sqrt{2}$ El cono no se corta, por lo que podemos considerar simplemente el volumen de un cono. Para $\sqrt{2} < z \leq 2$ tenemos que integrar el área que viene dada por $\int_0^{\sqrt{4 - z^2}} \sqrt{z^2 - y^2} dy$ que corresponde a $1/4$ del círculo de radio $z$ cortada por los límites del cilindro en $y$ . Así, todo el volumen se convierte en $$\frac{4}{3} \pi \sqrt{2} + 8 \int_{\sqrt{2}}^2 \int_0^{\sqrt{4 - z^2}} \sqrt{z^2 - y^2}dy dz \; .$$ Imagen de aclaración

El primer término es el doble del volumen de cada semicono hasta la altura $\pm \sqrt{2}$ y la segunda la integral sobre el área de la región cónica limitada por el cilindro en algún $z$ . He intentado un cambio de coordenadas $z \to 2 \sin{\theta}$ pero no sirvió de mucho. Me gustaría pedir ayuda para evaluar la segunda integral. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

La aproximación cartesiana no es trazable en forma cerrada, dando lugar a una integral elíptica. Obsérvese que el volumen correcto se especifica mediante $$V = \frac{4\sqrt{2}}{3} \pi + 8 \int_{z=\sqrt{2}}^2 \int_{y=0}^{\color{red}{\sqrt{4-z^2}}} \sqrt{z^2 - y^2} \, dy \, dz.$$ El problema está en el límite superior de integración resaltado en rojo; tras la sustitución $y = z \sin \theta$ se convierte en $$\theta = \arcsin \sqrt{\frac{2}{z^2} - 1}.$$

Un mejor enfoque es utilizar coordenadas cilíndricas con respecto al $x$ -eje; es decir, $$z = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad x = x,$$ por lo que el integrando en el sector circular se convierte en $$\sqrt{z^2 - y^2} = r \sqrt{\cos 2\theta}$$ y el volumen deseado se convierte en $$V = 8 \int_{r = 0}^2 \int_{\theta = 0}^{\pi/4} r^2 \sqrt{\cos 2\theta} \, d\theta \, dr$$ después de tener en cuenta el jacobiano de la transformación: $$dV = r \, d\theta \, dr \, dx.$$ Entonces, como lo anterior es separable, $$V = \frac{32}{3} \int_{\theta=0}^{\pi/2} \sqrt{\cos \theta} \, d\theta.$$ En este punto sabemos que $\sqrt{\cos \theta}$ no tiene ninguna antiderivada elemental de forma cerrada, lo que confirma la afirmación que hice al principio. Sin embargo, la integral definida sí tiene una forma cerrada en términos de la función gamma: $$\int_{\theta = 0}^{\pi/2} \sqrt{\cos \theta} \, d\theta = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \Gamma^2 (\tfrac{3}{4}).$$ Esto, por supuesto, no es más que una reformulación de la integral de la función beta $$\int_{z=0}^1 z^{a-1} (1-z)^{b-1} \, dz = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} = 2 \int_{\theta=0}^{\pi/2} \sin^{2a-1} \theta \cos^{2b-1} \theta \, d\theta$$ para la elección $(a,b) = (1/2, 3/4)$ . Esto da un valor numérico $$V \approx 12.780162503846316879\ldots.$$