Deje $G$ ser un grupo y $I_G$ ser el aumento ideal del anillo de grupo $\mathbb{Z}G$, es decir, $I_G$ se compone de formal combinaciones lineales $\sum n_i g_i$ ($n_i\in\mathbb{Z}$, $g_i\in G$) tal que $\sum n_i=0$. Hay una caracterización de los grupos de $G$ que $\bigcap_k I_G^k=\{0\}$?
Respuesta
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Voy a restringir el caso de que $G$ es finito.
Esto es cierto si y sólo si $G$ es solucionable.
Deje $J$ dos caras ideal en $\mathbb{Z}[G]$. Llamamos a $J$ idempotente si $J^2=J$. Tenga en cuenta que $\bigcap I_G^k$ es idempotente. Llamamos a un idempotente ideal trivial si no es ni $\{ 0 \}$ ni $\mathbb{Z}[G]$.
El siguiente es un teorema de Roggenkamp: $\mathbb{Z}[G]$ contiene trivial idempotente ideales si y sólo si $G$ no es solucionable.
En una dirección, que esto responda a su pregunta de inmediato. Si $G$ es solucionable, a continuación, $\mathbb{Z}[G]$ no contiene trivial idempotente ideales, por lo $\bigcap I_G^k$ debe ser trivial y, como no contiene la identidad, debe ser $\{ 0 \}$.
En la otra dirección, echar un vistazo a algunas trivial idempotente ideal $J$ que Roggenkamp construcciones. (En la primera Proposición, en la primera página de su libro.) Claramente obedece a $I_G \supseteq J$. Así, para cada $k$, $I_G^k \supseteq J^k = J$ por lo $\bigcap I_G^k \supseteq J$ y la intersección es no $\{ 0 \}$.
En el caso particular de que $G$ es perfecto (igual a su propio colector de un subgrupo), Roggenkamp afirma que $I_G$ sí es idempotente. Por desgracia, Roggenkamp afirma que esta sin cita. Afortunadamente, creo que he reconstruido una prueba. Para cualquier $x$$y$$G$, ten en cuenta que $$\left[ (x-1)(y-1) - (y-1)(x-1) \right] x^{-1} y^{-1} = xyx^{-1} y^{-1} -1$$ es en $I_G^2$. Por definición, el colector de un subgrupo de $G$ es todos los elementos de la forma $(x_1 y_1 x_1^{-1} y_1^{-1}) (x_2 y_2 x_2^{-1} y_2^{-1}) \cdots (x_r y_r x_r^{-1} y_r^{-1})$. Así que, para cualquier $g$ en el colector de un subgrupo,
$$\begin{multline} g-1 = \left( x_1 y_1 x_1^{-1} y_1^{-1} -1 \right) (x_2 y_2 x_2^{-1} y_2^{-1}) (x_3 y_3 x_3^{-1} y_3^{-1}) \cdots (x_r y_r x_r^{-1} y_r^{-1}) + \\ \left( x_2 y_2 x_2^{-1} y_2^{-1} -1 \right) (x_3 y_3 x_3^{-1} y_3^{-1}) \cdots (x_r y_r x_r^{-1} y_r^{-1}) + \cdots + \left( x_r y_r x_r^{-1} y_r^{-1} -1 \right) \end{multline}$$
es en $I_G^2$.
Por lo tanto, si $G$ es su propio colector subgrupo, a continuación,$I_G^2 = I_G$, como se reivindica.
