demostrar la representación inducida y restringida

Question

¿alguien puede ayudarme con esta pregunta? Tengo un gran problema incluso para iniciarlo.

Sean H, K subgrupos de G y HK=G. Si $\psi$ es un carácter de H, demuestre que $(\psi^G)_K = (\psi_{H \cap K})^K$ .

Así que básicamente $\psi^G = Ind^G_H(W)$ por lo que W debería ser sólo un módulo H, y $(\psi^G)_K$ está restringido a K. Tengo problemas incluso para descomponer esta expresión de arriba. ¿Puede alguien echarme una mano? Muchas gracias.

Answer 1

Me he dado cuenta de que hace falta algo más que enchufar la fórmula. Aquí están los cálculos.

Dejemos que $T\subseteq H$ se dé de tal manera que $G = \bigcup_{t\in T}tK$ es una unión disjunta. Para $x\in K$ tenemos $$\varphi^G(x) = \frac{1}{|H|}\sum_{g\in G}\varphi^{\circ}(gxg^{-1}) = \frac{1}{|H|}\sum_{t\in T}\sum_{z\in K}\varphi^{\circ}(tzxz^{-1}t^{-1}) = \frac{1}{|H|}\sum_{t\in T}\sum_{z\in K}\varphi^{\circ}(zxz^{-1})$$ $$= \frac{1}{|H|}|T|\sum_{z\in K}\varphi^{\circ}(zxz^{-1}) = \frac{1}{|H|}|G:K|\sum_{z\in K}\varphi^{\circ}(zxz^{-1}) = \frac{|G|}{|H||K|}\sum_{z\in K}\varphi^{\circ}(zxz^{-1})$$ $$= \frac{1}{|H\cap K|}\sum_{z\in K}\varphi^{\circ}(zxz^{-1}) = (\varphi_{H\cap K})^K(x)$$

Dónde $\varphi^{\circ}(h) = \varphi(h)$ si $h\in H$ y $0$ de lo contrario.