Denote $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ .
Teorema (desigualdad de Cauchy - Schwarz). Si $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es un producto semi-interno sobre un espacio vectorial $H$ entonces $$\lvert\langle x,y\rangle\rvert\le\lVert x\rVert\lVert y\rVert,\quad\textit{for all}\;x,y,\in H.$$
Prueba. Si $x=0$ o $y=0$ entonces no hay nada que demostrar, así que supongamos que $x$ y $y$ son ambos distintos de cero.
Dado cualquier escalar $z\in\mathbb{F}$ hay un escalar $\alpha$ con módulo $\lvert\alpha\rvert=1$ tal que $\alpha z=\lvert z \rvert$ . En particular, si establecemos $z=\langle x, y\rangle$ entonces hay un escalar con $\lvert \alpha \rvert=1$ tal que $$\langle x,y\rangle=\alpha\lvert\langle x,y\rangle\rvert.$$ Multiplicando ambos lados por $\overline{\alpha}$ vemos que también tenemos $\overline{\alpha}\langle x, y\rangle=\lvert\langle x, y \rangle \rvert$ .
Para cada $t\in\mathbb{R}$ utilizando la identidad polar y la antilinealidad en la segunda variable, calculamos que \begin{equation} \begin{split} 0\le\lVert x-\alpha ty\rVert= &\rVert x\lVert^2-2\Re\big(\langle x,\alpha ty\rangle\big)+t^2\rVert y \lVert^2 \\ = &\rVert x\lVert^2-2t\Re\big(\overline{\alpha}\langle x, y\rangle\big)+t^2\lVert y \lVert^2\\ = & \lVert x \rVert ^2-2t\lvert\langle x, y\rangle\rvert+t^2\lVert y \rVert^2\\ = & at^2+bt+c, \end{split} \end{equation} donde $a=\lVert y \rVert ^2$ , $b=-2\lvert \langle x, y\rangle \rvert$ y $c=\lVert x \rVert ^2$ . Se trata de un polinomio cuadrático revalorizado en la variable $t$ . Como este polinomio es no negativo, $\color{red}{it\;can\;have\;at\;most\;\;one\;real\;root}.$
$\color{blue}{This\;implies\;that\;the\;discriminant\; cannot\;be\;strictly\;positive}.$
Pregunta. ¿Cuáles son las razones por las que las afirmaciones rojas y azules se mantienen? Necesito los detalles precisos.
Gracias.
