Declaración
Para cualquier colección $\mathfrak{X}:=\{X_i:i\in I\}$ si $J\subseteq I$ entonces $X_J:=\Pi_{j\in J}X_j$ es incrustable en $X_I:=\Pi_{i\in I}X_i$
Para demostrar la afirmación, he intentado proceder de la siguiente manera.
Para un fijo $\xi\in X_I$ definimos la función $f:X_J\rightarrow X_I$ a través de la condicción $$ [f(x)](i):=\begin{cases}x(i),\,\,\,\text{if}\,\,\,i\in J\\\xi(i),\,\,\,\text{otherwise}\end{cases} $$ para cualquier $x\in X_J$ . Así, observamos que si $f(x)=f(y)$ para cualquier $x,y\in X_J$ entonces $x(j)=[f(x)](j)=[f(y)](j)=y(j)$ para cualquier $j\in J$ y así $x=y$ así $f$ es inyectiva. Entonces observamos que $(\pi_i\circ f)$ es igual o a $\pi_i$ si $i\in J$ o a una función constante $\xi_i$ cada uno de los cuales es continuo, de modo que por el teorema universal de los mapas para los productos concluimos que $f$ también es continua.
Ahora desafortunadamente no puedo probar que la función $f^{-1}$ es continua, es decir, la función $f$ está abierto, así que pido hacerlo. Entonces pido que se pruebe que $f[X_J]=\Pi_{i\in I}Y_i$ donde $Y_i=X_i$ si $i\in J$ y por otra parte $Y_i=\{\xi_i\}$ . Finalmente pregunto si utilizando el resultado anterior es posible demostrar que si $X_I:=\Bbb R^{i-1}\times\Bbb R\times\Bbb R^{n-i}$ y $X_J:=\Bbb R^{i-1}\times\Bbb R^{n-i}$ entonces, para cualquier $U$ existe un conjunto abierto $U'$ en $\Bbb R^{i-1}$ y un conjunto abierto $U''$ en $\Bbb R^{n-i}$ tal que $U\cap f[X_J]=U'\times\{\xi_i\}\times U''$ . Así que, ¿podría alguien ayudarme, por favor?
