Al menos un elemento diagonal de cualquier matriz simétrica real de rango $1$ es distinto de cero?

Question

Si $A$ es una matriz real simétrica de rango $1$ ¿es cierto que al menos un elemento de la diagonal es distinto de cero?

Answer 1

La matriz $A$ puede ser diagonalizada: la matriz diagonalizada $\Delta$ tiene valores propios reales, y sólo uno es distinto de cero (también tiene rango 1). Por lo tanto, $\operatorname{tr} \Delta \neq 0$ . Sin embargo, la traza es invariable, por lo que $\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} \Delta$ .

Answer 2

Una matriz simétrica de rango uno es de la forma $aa^T$ para algún vector no nulo $a.$ el $i$ elemento diagonal de $aa^T$ es $a_i^2$ . así que $a \neq 0$ implica que al menos uno de los elementos de la diagonal es distinto de cero.