Las fibras del mapa de momentos para el $SO(n+1)$ simetría del flujo geodésico en $S^n$

Question

Mi pregunta es: ¿Las órbitas del flujo geodésico en $S^n$ determinado como las fibras del mapa de momento para su $SO(n+1)$ ¿simetría?

Comencé considerando el problema análogo para las órbitas del flujo hamiltoniano del oscilador armónico n-dimensional y las fibras del mapa de momento para su $U(n)$ -Simetría. Si no me equivoco en tal caso la respuesta es sí.

A continuación doy algunos otros detalles, esperando ser lo suficientemente claro.
Cualquier tipo de corrección y/o sugerencia es realmente bienvenida.

El oscilador armónico n-dimensional Consideremos el oscilador armónico isotrópico de n dimensiones como el sistema hamiltoniano en $\mathbb{C}^n$ con la forma simpléctica $\omega=\sum_{k=1}^n d\overline{z}^k\wedge dz^k$ y la función de Hamilton $H(z)=1/2|z|^2$ .
La acción natural de $U(n)$ deja $H$ invariante y tiene un mapa de momento equivariante dado por $\langle J,A\rangle(z)=1/2\sqrt{-1}\langle z,Az\rangle$ para $z\in\mathbb{C}^n,\ A\in\mathfrak{u}(n)$ .
Las fibras de $J$ son exactamente las órbitas del flujo hamiltoniano, de hecho $J^{-1}(J(z))=S^1.z\equiv\{e^{i\phi}z|\phi\in\mathbb{R}\}$ .

El flujo geodésico en $S^n$ Podemos considerar el flujo geodésico en $S^n$ como el sistema hamiltoniano en $TS^n\equiv\{(x,y)\in T\mathbb{R}^{n+1}\equiv\mathbb{R}^{n+1}\times\mathbb{R}^{n+1}||x|=1,\langle x,y\rangle=0\}$ con la forma simpléctica inducida en ella por la forma simpléctica canónica $\sum_{k=1}^{n+1} dy^k\wedge dx^k$ en $T\mathbb{R}^{n+1}\equiv\mathbb{R}^{n+1}\times\mathbb{R}^{n+1}$ y la función de Hamilton $H(x,y)=\frac{1}{2}|y|^2$ .
$TS^n$ es invariante bajo la elevación a $T\mathbb{R}^{n+1}$ de la acción natural de $SO(n+1)$ en $\mathbb{R}^{n+1}$ .
Esta acción deja $H$ invariante y tiene un mapa de momento equivariante dado por $\langle J,A\rangle(x,y)=\frac{1}{2}(\langle x,Ay\rangle-\langle y,Ax\rangle)$ para $(x,y)\in TS^n,\ A\in\mathfrak{so}(n+1)$ .

En $T^{\times}S^n\equiv(TS^n)\setminus S^n$ el espacio tangente perforado a $S^n$ el mapa del momento tiene un rango constante $2n-1$ . Así, para cualquier $(x,y)\in T^{\times}S^n$ tenemos que $J^{-1}(J(x,y))$ es un $1$ -y que incluye $\{(e^{t.J(x,y)}x,e^{t.J(x,y)}y)|t\in\mathbb{R}\}$ la órbita del flujo hamiltoniano a través de $(x,y)$ pero no sé si éste es su único componente.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Es $J^{-1}(J(x,y))$ exactamente igual a $\{(e^{t.J(x,y)}x,e^{t.J(x,y)}y)|t\in\mathbb{R}\}$ o no? Dónde $J:T^{\times}S^n\to\mathbb{so}(n+1)^\ast\cong\mathfrak{so}(n+1)$ viene dada por $J(x,y)=\frac{1}{2}(y^Tx-x^Ty)$ (con el isomorfismo lineal $\mathbb{so}(n+1)^\ast\cong\mathfrak{so}(n+1)$ realizado a través de la traza del producto escalar).

Editar Ahora me he dado cuenta de que hay una respuesta positiva fácil a mi pregunta y la he publicado a continuación. De nuevo, cualquier tipo de comentario es bienvenido.

Answer 1

Tal vez quieras investigar la noción de par dual en la geometría simpléctica y de Poisson para situar tus ejemplos en un contexto más general. Tu primer ejemplo es uno de los ejemplos canónicos de un par dual. Weinstein definió los pares duales en la geometría simpléctica/de Poisson como un análogo simpléctico de los pares duales de Howe importantes en teoría de la representación. (Busca "par dual" en la wiki.) El caso especial que recuerdo es un par de acciones de grupos hamiltonianos sobre una con la propiedad de que los espacios reducidos para un grupo son co-adjuntos órbitas para el álgebra de mentira del OTRO grupo. En términos simplécticos los componentes del mapa de momento de un grupo generan los invariantes para la acción del otro acción del otro grupo.

Answer 2

He descubierto que la respuesta a mi pregunta es sí. Perdonen, al haberla encontrado, ahora es fácil, pero no me di cuenta antes.

Sea dado un elemento $(x,y)$ de $T^{\times}S^n$ es decir $(x,y)\in T\mathbb{R}^{n+1}$ tal que $|x|=1$ , $\langle x,y\rangle=0$ , $|y|\neq 0$ .

Tenemos que $2J(x,y)=(y^Tx-x^Ty)\in\mathfrak{so}(n+1)$ aniquila el complemento ortogonal de $\mathrm{span}\{x,y\}$ y mapas $x$ en $y$ y $y$ en $-|y|^2x$ .
Así que $e^{2t.J(x,y)}\in SO(n+1)$ , fija puntualmente $(\mathrm{span}\{x,y\})^\perp$ y mapas $x$ en $\cos(t|y|)x+\sin(t|y|)|y|^{-1}y$ y $y$ en $-\sin(t|y|)x+cos(t|y|)|y|^{-1}y$ .

Por lo tanto (*) $e^{2t.J(x,y)}$ función periódica de $t\in\mathbb{R}$ con el período $2\pi|y|^{-1}$ constituye el subgrupo de $SO(n+1)$ que se estabiliza puntualmente $(\mathrm{span}\{x,y\})^\perp$ en $\mathbb{R}^{n+1}.

Ahora dejemos que se dé $(x,y),(x',y')\in T^{\times}S^n$ tal que $J(x,y)=J(x',y')$ .
Por (*) tenemos que $\mathrm{span}\{x,y\}=\mathrm{span}\{x',y'\}$ y $|y|=|y'|$ .
Esto implica que $\{x,|y|^{-1}y\}$ y $\{x',|y|^{-1}y'\}$ son dos bases ortonormales ordenadas del mismo plano en $\mathbb{R}^{n+1}$ y tienen la misma orientación, por lo que existe $t\in\mathbb{R}$ tal que $x'=e^{tJ(x,y)}x$ , $y'=e^{t.J(x,y)}y$ .

Esto demuestra que $J^{-1}(J(x,y))=\{e^{tJ(x,y)}.(x,y)|\ t\in\mathbb{R}\}$ para cualquier $(x,y)\in T^{\times}S^n$ .