¿Diferencia entre una función y un gráfico de una función?

Question

Formalmente, aprendí que una función $f: X \to Y$ es un subconjunto $f \subset X \times Y$ con la condición de que por cada $x \in X$ hay exactamente una $y \in Y$ de tal manera que $(x, y) \in f$ . Escribimos $y = f(x)$ .

El gráfico de una función $f: X \to Y$ es el conjunto $\{(x, f(x)) : x \in X\}$ .

Basándose en estas dos definiciones, el gráfico de una función es, bueno, sólo la función (es decir $ \operatorname {graph} f = f$ ), lo que me hace preguntarme por qué consideras el "gráfico" de una función si no te dice nada nuevo.

Answer 1

Considere las dos funciones siguientes: $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x)=\sin(x)$ y $g:\mathbb R \to [-1,1]$ , $g(x)=\sin (x)$ . Como funciones, estas dos cosas son diferentes simplemente porque el codominio de una es diferente del codominio de la otra. Sin embargo, como para todo $x\in \mathbb R$ sostiene que $f(x)=g(x)$ Las gráficas de ambas funciones son idénticas.

Algunos aspectos de una función están completamente determinados por la gráfica, pero otros no. Por ejemplo, la inyectividad de una función está completamente determinada por su gráfico, mientras que la subjetividad no. Es decir, $f$ anterior no es surjetivo, mientras que $g$ es suryente.

Cuando se piensa en una función como un proceso, es natural especificar su dominio (pensado como posibles entradas) y su codominio (posibles salidas) sin comprometerse a que cada salida se alcance realmente. He aquí un ejemplo extremo. Sea $f:\mathbb R \to \mathbb R$ sea dada por $f(x)=e^{\sin(x)}\cdot\cos(x)$ . Acabo de definir la función sin preocuparme de su imagen precisa, lo que podría ser un dolor de cabeza si todo lo que quiero hacer es definir la función.

Answer 2

Algunas personas utilizan la definición de función en este sentido:

Una función de $X$ a $Y$ es un ordenó el triple $(X,f,Y)$ , donde $f\subseteq X\times Y$ y para cada $x\in X$ hay un único $y\in Y$ cumpliendo con $(x,y)\in f$ .

(Se pueden encontrar algunos ejemplos de textos que utilizan esta definición si se intenta buscar función triple ordenada o algo similar en Google Books).

Esto es básicamente lo mismo que decir:

Consideramos dos funciones $f\colon X\to Y$ , $g\colon Z\to W$ sean iguales si (y sólo si) $X=Z$ , $Y=W$ y $f(x)=g(x)$ para cada $x\in X$ .

Así, para que dos funciones sean iguales, deben tener el mismo codominio.

(Una consulta de búsqueda razonable para encontrar algún texto que incluya esto podría ser "dos funciones" igual .)

Hay muchas situaciones en las que esta distinción carece de importancia, por lo que las funciones $\sin \colon \mathbb R \to \mathbb R$ y $\sin \colon \mathbb R \to [-1,1]$ suelen considerarse iguales. (Y el son lo mismo según la definición en el OP. Si utilizamos la definición como "la función es un subconjunto de $X\times Y$ tal que...", entonces una función es efectivamente igual a su gráfica).

Pero también hay situaciones en las que las distinciones son importantes, por ejemplo, al hablar de funciones suryectivas sólo tiene sentido si se especifica el codominio. (Así que si usas la definición del OP, tendrías que considerar la subjetividad como una propiedad del par $(f,Y)$ es decir, una función y un conjunto que contiene el rango de esta función, en lugar de una propiedad de la función $f$ .)

El artículo de la Wikipedia también tiene una sección sobre definiciones alternativas de una función . Por si acaso el artículo se reorganiza en el futuro, también añado un enlace a la revisión actual.

Answer 3

Bueno, por supuesto, incluso los más obsesionados con las reglamentaciones teóricas, no lo hacen realmente, realmente En el caso de las funciones, se cree que son idénticas a sus grafos, es decir, idénticas a los conjuntos de tuplas (o son idénticas a los triples teóricos de dominios, codominios y conjuntos de tuplas, o lo que sea). Para empezar, algunas funciones son "demasiado grandes" para tener grafos según las teorías de conjuntos estándar, por ejemplo, la función que mapea conjuntos a sus singletons. Y en cualquier caso, las funciones pertenecen a un tipo lógico diferente al de los objetos como los conjuntos (incluidos los conjuntos de tuplas). Una función de un solo lugar $f$ toma argumentos individuales y emite valores; un conjunto [por así decirlo] se queda ahí. Por supuesto, podemos alimentar $x$ más $f$ Gráfico de la empresa $G$ como dos argumentos a una nueva función de evaluación diádica que devuelve el valor $y$ por si acaso $(x, y) \in G$ Pero, so pena de retroceder, no podemos seguir cambiando las funciones por sus gráficos.

Así pues, la modelización teórica de conjuntos (representación, implementación) de funciones mediante sus gráficos es sólo eso: modelización o representación o implementación, como quieras decirlo. Y como cualquier modelización, hay diferentes maneras de hacerlo dependiendo de qué características de lo que estás modelizando te importa realmente representar. Lo que el modelado de gráficos (para las funciones cotidianas, si no es que se trata de cosas desagradables como $x \mapsto \{x\}$ ) destaca muy bien es extensionalidad y plenitud (la idea de que existe una función para cada pareja arbitraria de argumentos y valores). El hecho de que también quieras incorporar codominios a tu definición de función al modelar en términos de conjuntos dependerá de si eso va a importar, como creo que dice @BrianM.Scott en su comentario a la respuesta de @IttayWeiss. Seguramente no se trata de que esté bien o mal, sino que se trata de una evaluación de la limpieza y la conveniencia en general.

Answer 4

Lo que ocurre aquí es que "todo el mundo sabe" lo que debe ser una función, y la definición de una función como igual a su gráfico es sólo una herramienta para codificar eso. Te aseguro que apenas hay un matemático en activo en el mundo que piense que una función es igual a su gráfica. Una situación perfectamente análoga es la definición estándar de lo que es un par ordenado $(a,b)$ "es". (Algo así como $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ u otra construcción igualmente poco intuitiva). Dar la "definición" es simplemente dar una construcción teórica de conjuntos que sea lógicamente sólida y que proporcione las propiedades que todo el mundo esperaba que el concepto satisficiera.