¿Cómo implica esto que "las bolas unitarias determinan completamente la estructura del espacio métrico"?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico. Supongamos que se sabe que $$B[x,r] = x + rB[0,1]\qquad\text{and}\qquad B(x,r) = x + rB(0,1)$$

donde $B[x,r]$ y $B(x,r)$ son respectivamente las bolas cerradas y abiertas en $X$ . ¿Cómo se deduce entonces que puedes afirmar que "las bolas unitarias determinan completamente la estructura del espacio métrico"?

Gracias.

Answer 1

La única estructura adicional que tiene un espacio métrico más allá de su topología es la métrica (que debe ser consistente con la topología existente, o bien induce una topología según se mire). Podríamos definir un espacio métrico definiendo explícitamente la métrica, o podríamos simplemente definir lo que son todas las bolas (es decir, una base para la topología), y luego llegar a una métrica consistente con esta topología definiendo $$d(x,y)=\inf \{r:y\in B[x,r]\}.$$ Si esta definición de métrica no cumple alguno de los axiomas del espacio métrico, en particular si $$d(y,x)=\inf \{r:x\in B[y,r]\}\neq d(x,y),$$ entonces la topología inducida por esta base no es metrizable. En caso contrario, la base describe una métrica única en el espacio.

Basado en el hecho de que $X$ es un espacio vectorial, y la construcción dada, no debería ser demasiado difícil demostrar que $\{B[x,r]:x\in X,r\in\mathbb R^+\}$ induce una métrica que es consistente con los axiomas del espacio métrico.