Supongamos que $\overline{\mathbb{Q}}$ es el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ y que $F \leq \overline{\mathbb{Q}}(x)$ sea un subcampo. Entonces quiero demostrar que $F/\mathbb{Q}$ o $\overline{\mathbb{Q}}(x)/F$ es una extensión algebraica.
Supongo que entiendo un poco la idea Si $F/\mathbb{Q}$ no es algebraico entonces eso debe significar que de alguna forma $F = K(x)$ donde $K \leq \mathbb{Q}$ Y entonces, obviamente, conseguimos que $\overline{\mathbb{Q}}(x)/K(x)$ es algebraico. Esa es la respuesta intuitiva, pero ¿cómo se formaliza esto?
Si $F/\mathbb{Q}$ no es algebraico, entonces hay $y \in F \subseteq \overline{\mathbb{Q}}(x)$ que es trascendental. ¿Implica esto directamente que $x \in F$ ? Estoy un poco confundido aquí. Y si conseguimos que $x \in F$ , obtenemos que $F \geq \mathbb{Q}(x)$ pero, ¿se puede decir que $F = K(x)$ para algunos $K \geq \mathbb{Q}$ ?
