Casi todos los hiperplanos no son tangentes

Question

Estoy tratando de resolver este problema: Que $M$ ser un $n$ -de la región, incrustada en $\mathbb{R}^{n + 1}$ . Entonces, casi todos los hiperplanos de $\mathbb{R}^{n + 1}$ no es tangente a $M$ en cualquier punto.

La pista que se da es considerar el mapa $f: M \to S^n$ que lleva $x \in M$ a la unidad normal en $x$ .

Primero pensé en utilizar el Teorema de Sard y analizar los valores críticos de este mapa. Entonces encontré ejemplos en los que hay puntos con hiperplanos tangentes, pero $f$ no tiene valores críticos. He intentado definir otros mapas y analizarlos, pero no puedo producir un mapa que tenga los valores críticos precisamente donde los quiero.

Me gustaría que la solución fuera a través de la pista, pero cualquier solución es bienvenida.

Answer 1

EDITADO

Podemos dar el espacio de hiperplanos afines en $\Bbb R^{n+1}$ explícitamente como un $(n+1)$ -de la siguiente manera: Al hiperplano $\nu\cdot (x-a) = 0$ con $\nu\in S^n$ y $x,a\in\Bbb R^{n+1}$ asociamos el punto $(\nu,a\cdot\nu)\in S^n\times\Bbb R = \mathscr H$ . (Geométricamente, estamos tomando el punto del hiperplano más cercano al origen cuando miramos $(a\cdot\nu)\nu$ .) De hecho, con la estructura natural diferenciable en el espacio de hiperplanos afines (orientados), es difeomorfo a $S^n\times\Bbb R$ .

Como se pidió, ahora trabajamos con el mapa de Gauss $f\colon M\to S^n$ que asigna a cada $x\in M$ el vector normal unitario que apunta hacia el exterior en $x$ . Obtenemos el mapeo correspondiente $F\colon M\to\mathscr H$ que representa el conjunto de hiperplanos tangentes a $M$ de la siguiente manera: Establecer $F(x) = (f(x),x\cdot f(x))$ . Desde $M$ es un $n$ -y un colector de dimensiones. $F$ es suave, la imagen en $\mathscr H=S^n\times\Bbb R$ , un $(n+1)$ -tiene medida cero. Es decir, casi todo hiperplano (afín) en $\Bbb R^{n+1}$ no es tangente a $M$ .