Por lo que entiendo, usted afirma que
$$\sum_{i=0}^n |a_i| \leq c\left( \sum_{i=0}^n |a_i|^{1/\alpha} \right)^{\alpha} \tag{1}$$
para alguna constante absoluta $c=c(\alpha)$ y $\alpha \in (0,1)$ . Si elegimos $a_i := 1$ para todos $i=0,\ldots,n$ Esto implicaría
$$n = \sum_{i=0}^n |a_i| \leq c \left( \sum_{i=0}^n |a_i|^{1/\alpha} \right)^{\alpha} = c n^{\alpha};$$
por lo tanto,
$$c \geq n^{1-\alpha} \xrightarrow[]{n \to \infty} \infty.$$
Esto demuestra que no puede existir una constante $c=c(\alpha)$ tal que $(1)$ es válida para cualquier secuencia $(a_i)_{i=0,\ldots,n} \subseteq \mathbb{R}$ , $n \in \mathbb{N}$ .
Esto, a su vez, significa que tu razonamiento no funciona ya que la tercera " $\leq$ " no es cierto.
Observación: La razón por la que $(1)$ no es cierto es que $n$ puede llegar a ser arbitrariamente grande. De hecho, la desigualdad de Jensen muestra que existe una constante $c=c(\alpha,n)$ tal que
$$\sum_{i=0}^n |a_i| \leq c \left( \sum_{i=0}^n |a_i|^{1/\alpha} \right)^{\alpha}$$
para cualquier $(a_i)_{i=0,\ldots,n}$ . Como muestra el ejemplo de la primera parte de mi respuesta, la constante $c=c(n,\alpha)$ explota si dejamos que $n \to \infty$ .
Ejemplo Considere $[a,b] := [0,1]$ y el proceso determinista $X_t := t$ . Si establecemos $t_i := i/n$ por el hecho de ser fijo $n \in \mathbb{N}$ entonces
$$X_b-X_a = 1 = \sum_{i=0}^n (X_{t_{i+1}}-X_{t_i})$$ y
$$\left( \sum_{i=0}^n |X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|^{1/\alpha} \right)^{\alpha} = n^{\alpha-1} \xrightarrow[]{n \to \infty} 0$$
y por lo tanto no puede existir una constante $c>0$ tal que
$$\left| \int_a^b dX_t \right| = |X_b-X_a| \leq c \left( \sum_{i=0}^n |X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|^{1/\alpha} \right)^{\alpha}$$
para todos $n \in \mathbb{N}$ . Por lo tanto, incluso en este escenario tan simple, no podemos esperar que podamos limitar $\left\|\int_a^b \psi(t) \, dX_t \right\|_{\infty}$ por el $1/\alpha$ -variación de $(X_t)_t$ .
