Resolver una ecuación diferencial con coeficientes desconocidos

Question

Problema

Tenemos la ecuación diferencial: $$x^{(3)}(t)+(\alpha+\beta) x''(t)+(1+\alpha\beta)x'(t)=u(t) $$ $\alpha$ y $\beta$ son constantes reales positivas.

Con $u(t)=\sin(2t)$ y la suposición $|\alpha-\beta|<2$ utilizar el método de las conjeturas para demostrar que la solución real completa es de la forma

$$x(t)=c_1+c_2 e^{at}\cos(\omega t)+c_3e^{at}\sin(\omega t)+A\cos(2t)+B\sin(2t) $$

Y determinar los parámetros reales, $a, \omega, A, B$ .

Mis progresos

Intentemos primero encontrar la solución de la ecuación diferencial homogénea $$x^{(3)}(t)+(\alpha+\beta) x''(t)+(1+\alpha\beta)x'(t)=0 $$

Escribimos el polinomio característico

$$\lambda^3+\lambda^2(\alpha+\beta)+\lambda(1+\alpha\beta)=0 $$

$$\lambda(\lambda^2+\lambda(\alpha+\beta)+(1+\alpha\beta)) =0$$

Pero, como no conozco los valores exactos de $\alpha$ y $\beta$ No puedo encontrar las raíces del polinomio característico y, por tanto, no puedo determinar la solución completa de la ecuación diferencial homogénea.

No sé cómo llegar más lejos con este problema desde aquí, pero parece que me estoy perdiendo algo importante que hay que entender. ¿O tal vez debería utilizar otro método en su lugar?

Answer 1

$$\lambda^3+\lambda^2(\alpha+\beta)+\lambda(1+\alpha\beta)=0$$ Factorizar $\lambda$ $$\lambda (\lambda^2+\lambda(\alpha+\beta)+(1+\alpha\beta))=0$$ $$\implies \lambda=0$$ Y la solución es $y_1=c_1e^{\lambda t}=c_1$ y $$ \lambda^2+\lambda(\alpha+\beta)+(1+\alpha\beta)=0$$ Intenta resolver la ecuación cuadrática. Ahora evalúa el discriminante de la ecuación cuadrática y no olvides que $|\alpha -\beta|<2$ $$\Delta =(\alpha +\beta)^2-4(1+\alpha\beta)$$ $$\Delta =(\alpha -\beta)^2-4$$ $$\Delta =(\alpha -\beta)-2)(\alpha -\beta)+2)$$ Pues eso: $$|\alpha -\beta|<2 \implies \Delta <0$$ Entonces las soluciones de la ecuación cuadrática son complejas: $$\lambda_{1,2}=\dfrac {-(\alpha+\beta)\pm i\sqrt {|\Delta|}}{2}$$ Ahora puedes deducir la solución de la ecuación diferencial homogénea: $$x(t)=c_1+c_2e^{\lambda_1 t}+c_3e^{\lambda_2 t}$$ Puedes utilizar la fórmula de Euler para reformular la solución $y(t)$ con las funciones seno y coseno. $$ \boxed {x(t)=c_1+e^{-(\alpha +\beta)t/2}(c_2 \cos (\sqrt {|\Delta |}t/2)+c_3 \sin (\sqrt {|\Delta |}t/2))}$$ Puedes deducirlo fácilmente: $$\omega =\dfrac 12\sqrt {|\Delta |}=\dfrac 12\sqrt { |(\alpha -\beta)^2-4|}$$ $$a=-\dfrac {(\alpha +\beta)}2$$

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Para la parte no homogénea trye $$x(t)=A \sin (2t)+B \cos (2t)$$ $$x'(t)=2A \cos (2t)-2B \sin (2t)$$ $$x''(t)=-4A \sin (2t)-4B \cos (2t)$$ $$x'''(t)=-8A \cos (2t)+8B\sin (2t)$$ Introduce esto en el DE y encuentra las cosntantes $A,B$ .