¿Qué temperatura se consigue en el punto de enfoque con 5.000 espejos planos de 1x1cm en una antena parabólica?

Question

Hay esto video ("R5800 Solar Death Ray") donde el adolescente construyó un dispositivo de 5000 espejos que concetran los rayos solares que está mostrando la potencia del método de mosaico de concentrar la luz solar usando el plato elíptico. Puede encender la madera, hervir el agua en segundos, fundir el aluminio, el vidrio o incluso quemar el conjunto en concrere o roca.

¿Cuál es la temperatura máxima aproximada (podría ser un rango) que alcanza este dispositivo de espejo en su punto de enfoque en un día soleado?

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El concentrador solar R5800, sustituido por el nuevo R23k, está hecho de una antena parabólica ordinaria de fibra de vidrio. Está recubierto de unos 5800 espejos de 3/8" (~1cm). Cuando está bien alineado, puede generar un del tamaño de una moneda de diez centavos con una intensidad de 5000 veces la normal. la luz del día. Esta intensidad de luz es más que suficiente para fundir el acero, vaporizar el aluminio, hervir el hormigón, convertir la suciedad en lava y borrar cualquier material orgánico en un instante. Mide 1,65 m. y tiene un diámetro de de diámetro.

Detalles técnicos y cálculos:

Cálculos: Área de la apertura de la antena parabólica (elíptica)= (pi x 102cm x 73cm)/4 = 5848 cm2

Área del punto focal (circular)= pi(0,6cm)^2 = 1,14 cm2

Tipo de plato= 0,7m x 1m de foco desplazado elíptico.

Poder de concentración= 5000x

Potencia de salida estimada = 560 vatios

Answer 1

Hay varias maneras de abordar este problema. Si podemos estimar la densidad de potencia alcanzada en $W/m^2$ entonces la temperatura que se puede alcanzar se deduce de la ley de Stefan-Boltzmann.

Primer método:

1) Tomar la potencia total recogida, y ver el tamaño al que se concentró. Usted afirma que el área del conjunto de espejos es de 0,6 m $^2$ (aproximadamente), y con una potencia que incide en la superficie de la tierra de alrededor de 1 kW, se obtienen 600 W (que coinciden con los 580 W que se afirman en su pregunta). Si esto es incidente en un área de 1,14 cm $^2$ la densidad de potencia es $\frac{580}{0.000114}\approx 5 MW/m^2$ . Un cuerpo negro perfecto de 1,14 cm $^2$ con esta potencia incidente en un lado, y aislado perfectamente del otro lado, sería capaz de alcanzar una temperatura $T$ tal que

$$\Phi = \sigma T^4$$

Así que..:

$$T = \sqrt[4]{\frac{5 \cdot 10^6}{5.67\cdot 10^{-8}}} = 3000 K$$

(números redondos...)

Sin embargo, si se intentara calentar un disco (con el doble de superficie, sin aislamiento en la parte posterior) la temperatura alcanzada descendería en $\sqrt[4]{2}$ hasta T = 2600 K (~2330°C). Obsérvese que la temperatura no baja del todo hasta 1500 K (~1230°C) - esto es que la 4ª potencia de la ley de Stefan-Boltzmann muestra su -ejem- potencia...

2) Un segundo método consistiría en observar "lo grande que parece el Sol" desde el punto de vista del foco. Cuando estás en el punto focal de los espejos, "ves" que es tan grande como la antena parabólica. Eso significa que el flujo de calor aumenta, comparado con el flujo de El Sol, por la relación de áreas aparentes. Lo que en realidad es lo mismo que decir "parece que estás mucho más cerca del Sol y puedes utilizar la ley del cuadrado inverso para determinar cuánta más potencia por unidad de superficie experimentas".

Ahora El Sol parece un disco de 0,5° de diámetro; y con las dimensiones dadas, su plato equivale a un disco de 86 cm de diámetro ( $\sqrt{102\cdot73}=86.3$ ) y la distancia focal es de 138 cm (que deduje del tamaño del punto focal, que es realmente una "imagen" de El Sol).

A una distancia de 138 cm, un disco de 86 cm de diámetro "parece" 69 veces mayor que el Sol, por lo que tiene una superficie aparente 4800 veces mayor que el Sol, y por tanto "siente el calor de 4800 soles". Esto es muy similar a la respuesta que obtuvimos antes, a pesar de tener un enfoque diferente (pero no realmente, si se mira con atención). Así que volveremos a obtener la misma estimación de la temperatura que puede alcanzar.

Este segundo enfoque nos ayuda a entender que para alcanzar temperaturas más altas, necesitamos que "el Sol parezca aún más grande", es decir, necesitamos una parábola más grande o una distancia focal más pequeña. Reducir la distancia focal sólo funcionará si los espejos individuales de la antena parabólica son pequeños en comparación con el tamaño del punto focal; de lo contrario, provocarán una importante difuminación del foco y, por tanto, reducirán la densidad de potencia. El simple hecho de aumentar el tamaño del conjunto de espejos no aumenta la densidad de potencia, sino la calidad del enfoque. En principio, lo mejor que se puede hacer es crear un gigantesco conjunto de espejos en 3D que haga parecer que el Sol está "en todas partes": un completo $4\pi$ en principio le daría la luz de 50.000 soles (10 veces más que este espejo). Un dispositivo así iluminaría un objeto desde todos los lados, y la temperatura de ese objeto sería (por la misma ecuación anterior) $\sqrt[4][10]$ x mayor, o 5500 K (~5230°C). Esto está muy cerca de la temperatura de la superficie del Sol, y no es ninguna sorpresa. Si no hubiera utilizado valores redondeados (ya que hay muchas estimaciones), podría haber esperado que la respuesta fuera 5776 K (~5500°C), la temperatura de la superficie del Sol y el límite teórico de este dispositivo. Así que 5500 K (~5230°C) es "lo suficientemente cerca para estimar".

Answer 2

Se puede obtener una estimación aproximada como sigue. En la radiación de intensidad extremadamente alta, la temperatura estará determinada por el equilibrio radiativo. Ahora bien, en el caso del equilibrio puramente radiativo, un objeto que reciba la radiación solar que llega a la Tierra alcanzaría una temperatura similar a la de la superficie lunar. En el ecuador, la temperatura máxima es de 390 K. El flujo de radiación solar es entonces un poco mayor que en la superficie de la Tierra, es de 1361 Watt/m^2 en lugar de los 1050 W/m^2 porque en la Luna no hay atmósfera.

Como la potencia radiada es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura, podemos estimar la temperatura máxima utilizando las cifras anteriores. El dispositivo concentra la luz solar por un factor de 5000, pero esto da como resultado 5000*1050/1361 = 3860 veces la intensidad fuera de la atmósfera terrestre, mientras que con la intensidad solar normal se podría alcanzar una temperatura máxima de 390 K. La temperatura máxima debería ser, pues, aproximadamente 390*3860^1/4 K = 3100 K.