Demuestra que $\overline {\mathbb Q(x)}$ es isomorfo a un subcampo de $\mathbb C$

Question

Demostrar que $\overline {\mathbb Q(x)}$ es isomorfo a un subcampo de $\mathbb C$ .

Aquí $\mathbb Q(x)$ es el campo de las funciones racionales (el campo de las fracciones del anillo de polinomios $\mathbb Q[x]$ ), y $\overline {\mathbb Q(x)}$ es su cierre algebraico.

Me confunde la definición de $\overline {\mathbb Q(x)}$ . Es un elemento general de $\overline {\mathbb Q(x)}$ de la forma $p(x)\over q(x)$ , donde $p(x), q(x)$ son polinomios cuyos coeficientes son números algebraicos, y $q(x) \neq 0$ es decir $\overline {\mathbb Q(x)}= \overline {\mathbb Q}(x)$ ?

He probado múltiples enfoques (factorización $p(x)$ y $q(x)$ en factores lineales; utilizando el hecho de que $\mathbb Q[x]/(p(x)) \cong \mathbb Q(\alpha)$ para los irreducibles $p(x)$ ), pero ninguno de ellos se acerca a demostrar que existe un isomorfismo.

Gracias por su ayuda

Answer 1

$\mathbb{Q}(x)$ es isomorfo a $\mathbb{Q}(\pi)$ Así que $\overline{\mathbb{Q}(x)}$ es isomorfo a $\overline{\mathbb{Q}(\pi)}$ que es un subcampo de $\mathbb{C}$ .

( $\mathbb{Q}(\pi) \subseteq \mathbb{R} \Rightarrow \overline{\mathbb{Q}(\pi)} \subseteq \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{C}$ ).

Answer 2

Yl2868,

$\bar{\mathbb{Q}}(x)$ no es isomorfo a $\overline{\mathbb{Q}(x)}$ . Para ver esto, observe que $\bar{\mathbb{Q}}(x)$ no es algebraicamente cerrado. Consideremos, por ejemplo, el polinomio $f(y)\in \bar{\mathbb{Q}}(x)[y]$ definido por $f(y)=y^2-x$ . Las raíces de $f(y)$ , a saber $\pm\sqrt{x}$ no mientan en $\bar{\mathbb{Q}}(x)$ y por lo tanto, $\bar{\mathbb{Q}}(x)$ no es algebraicamente cerrado.

Sin embargo, $\overline{\mathbb{Q}(x)}$ es algebraicamente cerrado por definición: es el cierre algebraico de $\mathbb{Q}(x)$ .

Para demostrar que $\overline{\mathbb{Q}(x)}$ es isomorfo a un subcampo de $\mathbb{C}$ , intenta encontrar una incrustación $\overline{\mathbb{Q}(x)}\to \mathbb{C}$ . ¿Por qué debería $\overline{\mathbb{Q}(x)}$ estar dentro $\mathbb{C}$ ?