Preguntas sobre las pruebas

Question

Para demostrar, por ejemplo, la identidad $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ Recuerdo haber trabajado, en la escuela secundaria, de la siguiente manera. Expandiendo el LHS se obtiene

\begin{equation} (a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2,\qquad(1) \end{equation}

mientras que, ampliando el lado derecho, se obtiene

\begin{align} (ac-bd)^2+(ad+bc)^2&=a^2c^2+b^2d^2+2acbd+a^2d^2+b^2c^2-2abcd\\ &=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2, \qquad(2) \end{align}

Comparando el lado derecho de (1) y (2) se deduce que $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ .

Primera pregunta: ¿Se considera esto una prueba aceptable en un nivel post-secundario? ¿O hay que trabajar de otra manera, como, por ejemplo, completando el cuadrado

\begin{align} (a^2+b^2)(c^2+d^2)&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2+b^2d^2+2abcd\\ &=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 \end{align}

Como otro ejemplo, considere la prueba de que $\sqrt{2}+\sqrt{6}<\sqrt{15}$ . Los profesores de secundaria (e incluso algunos profesores de escuelas de ingeniería que conozco) suelen trabajar así:

• Tomando el cuadrado de cada lado de $\sqrt{2}+\sqrt{6}<\sqrt{15}$ da $2+6+2\sqrt{2}\sqrt{6}<15$ .
• La reordenación da $2\sqrt{2}\sqrt{6}<7$ .
• Si se eleva al cuadrado de nuevo se obtiene $48<49$ .
• Desde $48<49$ entonces $\sqrt{2}+\sqrt{6}<\sqrt{15}$ .

Sin embargo, según A Concise Introduction to Pure Mathematics de Martin Liebeck, el argumento anterior no es una prueba. En efecto, citando al autor Hemos demostrado que si P es el enunciado que queremos demostrar, y Q es el enunciado de que 48 < 49, entonces PQ; pero esto no nos dice nada sobre la verdad o no de P. La prueba adecuada empieza por suponer la veracidad de lo contrario \begin{equation} \sqrt{2}+\sqrt{6}\geq\sqrt{15} \end{equation} Tenemos entonces \begin{align*} \sqrt{2}+\sqrt{6}\geq\sqrt{15}&\Rightarrow \left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)^2\geq\left(\sqrt{15}\right)^2\Rightarrow 2+6+2\sqrt{2}\sqrt{6}\geq 15\\ &\Rightarrow 2\sqrt{12}\geq 7\Rightarrow 4\times 12\geq 49\Rightarrow 47\geq 48 \end{align*} que es una contradicción.

Segunda pregunta: ¿Está justificada esta falta de rigor por parte de los profesores?

Answer 1

Su primera prueba es buena, y no contiene ningún problema estructural. Si la presentara a niños que acaban de aprender a expandir binomios, podría incluir pasos adicionales. Si la incluyera en un trabajo de investigación, me saltaría algunos de estos pasos (¡posiblemente todos!). Pero, a diferencia de la segunda prueba, este método de prueba (manipular un lado de la ecuación propuesta y luego el otro) es una forma perfectamente válida de demostrar una igualdad.

Estoy de acuerdo con Liebeck sobre la segunda prueba: contiene una falacia conocida como "afirmación del consecuente". Este es un problema muy común en las pruebas para principiantes, en las que suele ser mucho más fácil empezar por la conclusión (ya que a menudo hay más que simplificar allí) y volver a las premisas. En este caso, no hay nada en las premisas, sino en la conclusión, $\sqrt{2} + \sqrt{6} < \sqrt{15}$ puede ser manipulado. ¡Puedes ver la tentación aquí!

Una forma de hacerlo es demostrar por contradicción, como sugiere Liebeck. Otra es simplemente escribir los pasos en orden inverso. Es suficientemente obvio que $48 < 49$ . Si tomamos la raíz cuadrada de ambos lados (nota: la función raíz cuadrada es estrictamente creciente, por lo que preserva incluso las desigualdades estrictas), entonces obtenemos $$2\sqrt{2}\sqrt{6} = \sqrt{48} < \sqrt{49} = 7.$$ Añadir $8$ a ambos lados, esto se convierte en $$(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 = 2 + 2\sqrt{2}\sqrt{6} < 15.$$ Una vez más, tomando la raíz cuadrada de ambos lados, teniendo en cuenta que $\sqrt{2} + \sqrt{6} \ge 0$ obtenemos $$\sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2} < \sqrt{15}.$$ ¡Y ya está!

Son los mismos pasos, pero escritos al revés, quizá con un poco de exposición en medio. Por eso, aunque el profesor haya cometido una falacia, al final funciona. Ha escrito una prueba perfectamente válida, sólo que en el orden equivocado. Los pasos presentados deberían haber estado en el trabajo de raspado del profesor, pero a la hora de presentar la prueba, deberían haberla presentado como yo lo hice arriba.

Dicho esto, cuando se enseña a los estudiantes sobre las pruebas, a veces (¿a menudo?) no es una buena idea presentar sólo la prueba pulida y terminada, y este es un ejemplo perfecto de por qué. Imagina que estás en la clase y que el profesor afirma que $\sqrt{2} + \sqrt{6} < \sqrt{15}$ y luego dijo "Es suficientemente obvio que $48 < 49$ ....". Te pasarías todo el tiempo tratando de averiguar cómo el profesor sacó esta desigualdad de la nada, y no te dice nada sobre cómo el profesor realmente averiguó cómo demostrar esto en primer lugar.

Por eso, a veces es mejor que un profesor presente una prueba que no sea perfecta. Y, dadas las limitaciones de tiempo, a veces no es posible que también presenten el producto terminado. Así que, por esa razón, yo diría que está justificado que un profesor con problemas de tiempo presente una prueba como ésta. Sólo espero que explique a sus alumnos que se trata del trabajo preliminar de una prueba, no del producto final (y quizás, cómo lo convertirían en el producto final).