El anillo de endomorfismo de un módulo irreducible es irreducible

Question

Dejemos que $M$ ser un $A$ -módulo y definir $B:=End_A (M)$ . Demostrar que si $M_A$ es irreducible (es decir, la única descomposición de $M_A$ en sumandos directos es la descomposición trivial) entonces $B_{B}$ es irreducible.

No tengo ni idea de cómo abordar esto. He intentado esto.

Considere $N\leq B_B$ un sumando directo de $B_B$ entonces existe una proyección $\pi:B_B\rightarrow B_B$ tal que $\pi^2=\pi$ y $\pi (B_B)=N$ . Quiero demostrar que $\pi=0$ o $\pi=1_{B_B}$ .

Answer 1

Vas por buen camino.

Desde donde lo dejaste, $\pi(M)\oplus (1-\pi)(M)=M$ es una descomposición directa de $M$ . Como uno debe ser cero, se tiene $\pi=1$ o $\pi=0$ .