¿ayuda a la integración parcial, por favor?

Question

Si $\phi(x)={1\over x}\int\nolimits_0^x F(t)dt$ y $F(x):=\int_0^x f(t)dt$ ¿Cómo es que $$\phi'(x)=-{1\over x^2}\int_0^xF(t)dt +{1\over x}F(x)={1\over x^2}\int_0^x t f(t)dt\ ?$$

Por favor, explique paso a paso ya que estoy confundido cómo llegar a las dos últimas igualdades.

Answer 1

Aquí hay dos pistas. Pruébalo, puedo ampliar los detalles de la Pista 2 si es necesario.

Pista 1:
$$ \phi'(x)=\frac{d}{dx} \frac{1}{x} \int_0^x F(t)dt\\ =\left(\frac{d}{dx}\frac{1}{x}\right) \int_0^xF(t)dt+\frac{1}{x} \left(\frac{d}{dx}\int_0^x F(t)dt\right). $$
Entonces el teorema fundamental del cálculo dice $$\left(\frac{d}{dx}\int_0^x F(t)dt\right)=F(x).$$ También, $$\frac{d}{dx}\frac{1}{x}=\frac{-1}{x^2}.$$

Pista 2: Para cualquier función agradable $f$ tenemos que $$\int_0^x \int_0^t f(u) du dt= \int_0^x (x-t)f(t)dt.$$ Este es un caso de La fórmula de Cauchy para la integración repetida.

Espero que eso ayude,

Answer 2

Para nuestros fines, podemos suponer que $f$ es continua.

Paso 1: $$ \phi '(x) = \bigg(\frac{d}{{\,dx}}\frac{1}{x}\bigg)\int_0^x {F(t)\,dt} + \frac{1}{x}\frac{d}{{\,dx}}\int_0^x {F(t)\,dt}. $$

Paso 2: $$ \phi '(x) = - \frac{1}{{x^2 }}\int_0^x {F(t)\,dt} + \frac{1}{x}F(x). $$

Paso 3: $$ x^2 \phi '(x) = - \int_0^x {F(t)dt} + xF(x) = xF(x) - \int_0^x {F(t)dt}. $$

Paso 4 -- integración por partes: $$ \int_0^x {tf(t) \,dt} = tF(t) \big|_0^x - \int_0^x {\bigg(\frac{d}{{\,dt}}t \bigg)F(t)\,dt} = xF(x) - 0F(0) - \int_0^x {1F(t)\,dt} = xF(x) - \int_0^x {F(t)\,dt}. $$

Paso 5: Se deduce que $$ x^2 \phi '(x) = \int_0^x {tf(t) \,dt}. $$

Paso 6: Se deduce que $$ \phi '(x) = \frac{1}{{x^2 }}\int_0^x {tf(t) \,dt}. $$

EDIT: Para la integración por partes (comienzo del paso 4), observe que $F$ es una antiderivada de $f$ ya que, por el teorema fundamental del cálculo, $$ F'(x) = \frac{d}{{dx}}F(x) = \frac{d}{{dx}}\int_0^x {f(t)dt} = f(x). $$ (Aquí utilizamos la suposición de que $f$ es continua).