¿Cuál es la probabilidad de que la suma de un subconjunto de enteros extraídos sin reemplazo no exceda un cierto umbral?

Question

Tengo el siguiente problema combinatorio para resolver; He buscado y no pude encontrar una respuesta que ya exista.

En la lotería principal en Alemania, se van a sacar 6 números de los $49$ $\{1,2,\ldots49\}$ sin reemplazo.

¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los 3 números más bajos sacados esté por debajo de un cierto valor, digamos $z=30$ por ejemplo?

Al final, en realidad no quiero la probabilidad, sino el número z, para que la probabilidad sea aproximadamente del $25\%$ $(75\%)$ por construcción. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Solo tenemos que contar cuántos $6$-subconjuntos satisfacen que la suma de sus tres enteros más pequeños es menor que $z$, y dividir esto por $\binom{49}{6}$. Podemos hacer esto fácilmente con una computadora.

Aquí hay algo de código c++:

#include 

int A[6];// usamos este array para iterar sobre todos los 6-subconjuntos
int S[200];// S[i] almacena el número de 6-subconjuntos que suman i
int tot=0;// el número total de 6-subconjuntos

int push(){// esto simplemente nos lleva al siguiente conjunto de 6
    for(int i=5;i>=0;i--){
        if(A[i]+5-i<49){
            A[i]++;
            for(int j=i+1;j<6;j++){
                A[j]=A[j-1]+1;
            }
            return(1);
        }
    }
    return(0);
}

int main(){
    for(int i=0;i<6;i++){// el primer conjunto es 1,2,3,4,5,6
        A[i]=i+1;
    }
    while(!tot || push()){// mientras no hayamos llegado al conjunto final
        tot++;// añadir uno a tot
        int sum=0;
        for(int i=0;i<3;i++){// encontrar la suma de los tres elementos más pequeños
            sum+=A[i];
        }
        S[sum]++;// sumar uno al número de conjuntos que suman sum
    }
    double acc=0;
    for(int i=5;i<=132;i++){// imprimir los resultados
        acc+=S[i];
        printf("Si $z=%d$ la probabilidad es: $%f$ \n\n",i+1,acc/tot);
    }
}

Los resultados:

Si $z=6$ la probabilidad es: $0.000000$

Si $z=7$ la probabilidad es: $0.001086$

Si $z=8$ la probabilidad es: $0.002100$

Si $z=9$ la probabilidad es: $0.004062$

Si $z=10$ la probabilidad es: $0.006906$

Si $z=11$ la probabilidad es: $0.010504$

Si $z=12$ la probabilidad es: $0.014800$

Si $z=13$ la probabilidad es: $0.020622$

Si $z=14$ la probabilidad es: $0.026914$

Si $z=15$ la probabilidad es: $0.034454$

Si $z=16$ la probabilidad es: $0.043144$

Si $z=17$ la probabilidad es: $0.052773$

Si $z=18$ la probabilidad es: $0.063257$

Si $z=19$ la probabilidad es: $0.075228$

Si $z=20$ la probabilidad es: $0.087738$

Si $z=21$ la probabilidad es: $0.101383$

Si $z=22$ la probabilidad es: $0.116056$

Si $z=23$ la probabilidad es: $0.131501$

Si $z=24$ la probabilidad es: $0.147632$

Si $z=25$ la probabilidad es: $0.164927$

Si $z=26$ la probabilidad es: $0.182563$

Si $z=27$ la probabilidad es: $0.200993$

Si $z=28$ la probabilidad es: $0.220124$

Si $z=29$ la probabilidad es: $0.239684$

Si $z=30$ la probabilidad es: $0.259603$

Si $z=31$ la probabilidad es: $0.280246$

Si $z=32$ la probabilidad es: $0.300916$

Si $z=33$ la probabilidad es: $0.321964$

Si $z=34$ la probabilidad es: $0.343321$

Si $z=35$ la probabilidad es: $0.364724$

Si $z=36$ la probabilidad es: $0.386130$

Si $z=37$ la probabilidad es: $0.407823$

Si $z=38$ la probabilidad es: $0.429230$

Si $z=39$ la probabilidad es: $0.450628$

Si $z=40$ la probabilidad es: $0.471982$

Si $z=41$ la probabilidad es: $0.493052$

Si $z=42$ la probabilidad es: $0.513827$

Si $z=43$ la probabilidad es: $0.534535$

Si $z=44$ la probabilidad es: $0.554720$

Si $z=45$ la probabilidad es: $0.574607$

Si $z=46$ la probabilidad es: $0.594192$

Si $z=47$ la probabilidad es: $0.613272$

Si $z=48$ la probabilidad es: $0.631864$

Si $z=49$ la probabilidad es: $0.650156$

Si $z=50$ la probabilidad es: $0.667796$

Si $z=51$ la probabilidad es: $0.684970$

Si $z=52$ la probabilidad es: $0.701703$

Si $z=53$ la probabilidad es: $0.717826$

Si $z=54$ la probabilidad es: $0.733380$

Si $z=55$ la probabilidad es: $0.748519$

Si $z=56$ la probabilidad es: $0.762980$

Si $z=57$ la probabilidad es: $0.776915$

Si $z=58$ la probabilidad es: $0.790367$

Si $z=59$ la probabilidad es: $0.803198$

Si $z=60$ la probabilidad es: $0.815465$

Si $z=61$ la probabilidad es: $0.827291$

Si $z=62$ la probabilidad es: $0.838483$

Si $z=63$ la probabilidad es: $0.849165$

Si $z=64$ la probabilidad es: $0.859388$

Si $z=65$ la probabilidad es: $0.869044$

Si $z=66$ la probabilidad es: $0.878192$

Si $z=67$ la probabilidad es: $0.886933$

Si $z=68$ la probabilidad es: $0.895127$

Si $z=69$ la probabilidad es: $0.902872$

Si $z=70$ la probabilidad es: $0.910225$

Si $z=71$ la probabilidad es: $0.917097$

Si $z=72$ la probabilidad es: $0.923550$

Si $z=73$ la probabilidad es: $0.929660$

Si $z=74$ la probabilidad es: $0.935331$

Si $z=75$ la probabilidad es: $0.940639$

Si $z=76$ la probabilidad es: $0.945636$

Si $z=77$ la probabilidad es: $0.950255$

Si $z=78$ la probabilidad es: $0.954552$

Si $z=79$ la probabilidad es: $0.958585$

Si $z=80$ la probabilidad es: $0.962287$

Si $z=81$ la probabilidad es: $0.965717$

Si $z=82$ la probabilidad es: $0.968920$

Si $z=83$ la probabilidad es: $0.971844$

Si $z=84$ la probabilidad es: $0.974538$

Si $z=85$ la probabilidad es: $0.977045$

Si $z=86$ la probabilidad es: $0.979318$

Si $z=87$ la probabilidad es: $0.981402$

Si $z=88$ la probabilidad es: $0.983332$

Si $z=89$ la probabilidad es: $0.985072$

Si $z=90$ la probabilidad es: $0.986657$

Si $z=91$ la probabilidad es: $0.988120$

Si $z=92$ la probabilidad es: $0.989429$

Si $z=93$ la probabilidad es: $0.990615$

Si $z=94$ la probabilidad es: $0.991704$

Si $z=95$ la probabilidad es: $0.992672$

Si $z=96$ la probabilidad es: $0.993543$

Si $z=97$ la probabilidad es: $0.994339$

Si $z=98$ la probabilidad es: $0.995040$

Si $z=99$ la probabilidad es: $0.995667$

Si $z=100$ la probabilidad es: $0.996238$

Si $z=101$ la probabilidad es: $0.996734$

Si $z=102$ la probabilidad es: $0.997175$

Si $z=103$ la probabilidad es: $0.997574$

Si $z=104$ la probabilidad es: $0.997917$

Si $z=105$ la probabilidad es: $0.998218$

Si $z=106$ la probabilidad es: $0.998489$

Si $z=107$ la probabilidad es: $0.998719$

Si $z=108$ la probabilidad es: $0.998919$

Si $z=109$ la probabilidad es: $0.999097$

Si $z=110$ la probabilidad es: $0.999246$

Si $z=111$ la probabilidad es: $0.999373$

Si $z=112$ la probabilidad es: $0.999487$

Si $z=113$ la probabilidad es: $0.999579$

Si $z=114$ la probabilidad es: $0.999657$

Si $z=115$ la probabilidad es: $0.999725$

Si $z=116$ la probabilidad es: $0.999779$

Si $z=117$ la probabilidad es: $0.999824$

Si $z=118$ la probabilidad es: $0.999863$

Si $z=119$ la probabilidad es: $0.999893$

Si $z=120$ la probabilidad es: $0.999917$

Si $z=121$ la probabilidad es: $0.999938$

Si $z=122$ la probabilidad es: $0.999954$

Si $z=123$ la probabilidad es: $0.999965$

Si $z=124$ la probabilidad es: $0.999976$

Si $z=125$ la probabilidad es: $0.999982$

Si $z=126$ la probabilidad es: $0.999988$

Si $z=127$ la probabilidad es: $0.999992$

Si $z=128$ la probabilidad es: $0.999995$

Si $z=129$ la probabilidad es: $0.999996$

Si $z=130$ la probabilidad es: $0.999998$

Si $z=131$ la probabilidad es: $0.999999$

Si $z=132$ la probabilidad es: $0.999999$

Si $z=133$ la probabilidad es: $1.000000$