Relación entre las soluciones fundamentales del sistema de EDO y la ED de segundo orden.

Question

Digamos que tengo una ecuación diferencial de segundo orden de la forma $$ y'' + p(t)y' + q(t)y=0 $$ Podemos transformar esta ecuación diferencial de segundo orden en un sistema de EDOs como sigue $$ \left\{\begin{matrix}x_1'=x_2 \\ x_2'=-p(t)x_2 -q(t)x_1 \end{matrix}\right. $$ o, alternativamente, escrito como $$ \mathbf{x'}= \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -p & -q\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = A\mathbf{x} $$ Tengo entendido que si $y_1, \ y_2$ son soluciones fundamentales de la ecuación diferencial de segundo orden, entonces se puede decir $ y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ . Por otro lado, si $\mathbf{x_1}, \ \mathbf{x_2}$ son soluciones fundamentales del sistema de ecuaciones es porque $\mathbf{x_1'}= A\mathbf{x_1}$ y $\mathbf{x_2'}= A\mathbf{x_2}$ .

Teniendo en cuenta esto, mi pregunta es

¿Existe una forma de relacionar las soluciones fundamentales del sistema de ecuaciones $\mathbf{x_1}, \ \mathbf{x_2}$ con las soluciones fundamentales de la ecuación diferencial original $y_1, \ y_2$ ?

Gracias.

Answer 1

Con

$\mathbf x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \tag 1$

tomamos

$x_1= y, \tag 2$

y

$x_2 = \dot y, \tag 3$

de donde

$\dot x_1= \dot y, \tag 4$

y

$\dot x_2 = \ddot y; \tag 5$

entonces el sistema

$\begin{pmatrix} \dot x_1 \\ \dot x_2 \end{pmatrix} = \dot {\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}} = \dot{\mathbf x} = A\mathbf x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -q & -p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ -px_2 - qx_1 \end{pmatrix} \tag 6$

se traduce en

$\begin{pmatrix} \dot y \\ \ddot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot y \\ -p \dot y - q y \end{pmatrix}, \tag 7$

de la cual

$\ddot y = -p \dot y -qy, \tag 8$

o

$\ddot y + p \dot y + qy = 0. \tag 9$

A la luz de (2)-(5), este argumento muestra la equivalencia del sistema de primer orden (6) y la ecuación de segundo orden (9).

Es bien sabido que (9) posee dos soluciones linealmente independientes $y_1$ y $y_2$ de lo anterior se desprende que éstas corresponden a dos soluciones de vectores columna $\mathbf x_1$ y $\mathbf x_2$ de (6); podemos definir así una matriz $\mathbf X$ en forma de columna

$\mathbf X = [\mathbf x_1 \; \mathbf x_2] \tag{10}$

que satisface

$\dot{\mathbf X} = [\dot{\mathbf x}_1 \; \dot{\mathbf x}_2] = [A\mathbf x_2 \; A\mathbf x_2] = A[\mathbf x_1 \; \mathbf x_2] = A\mathbf X; \tag{11}$

que los vectores columna $\mathbf x_1$ , $\mathbf x_2$ son linealmente independientes se deduce de la del $y_1$ y $y_2$ ya que con

$\mathbf x_1 = \begin{pmatrix} y_1 \\ \dot y_1 \end{pmatrix}, \tag{12}$

$\mathbf x_2 = \begin{pmatrix} y_2 \\ \dot y_2 \end{pmatrix}, \tag{13}$

tenemos

$a\mathbf x_1 + b\mathbf x_2 = \begin{pmatrix} ay_1 + by_2 \\ a \dot y_1 + b\dot y_2 \end{pmatrix}; \tag{14}$

si existiera $a$ y $b$ tal que

$a\mathbf x_1 + b\mathbf x_2 = 0 \tag{15}$

con al menos uno de $a, b \ne 0$ entonces lo mismo, por supuesto, sería válido para $y_1$ , $y_2$ en virtud de (14); así vemos la independencia lineal de $\mathbf x_1$ y $\mathbf x_2$ .

A partir de la independencia lineal de $\mathbf x_1$ y $\mathbf x_2$ vemos que $\mathbf X$ es de hecho un solución de la matriz fundamental de (11); la discusión anterior muestra cómo un par de soluciones linealmente independientes $y_1$ , $y_2$ a (9) dan lugar a una solución funamental para (11).

Como nota final, el término "soluciones fundamantales" no se utiliza a menudo en el contexto de (9), donde generalmente se prefiere el término "soluciones linealmente independientes".