$\lim_{n\rightarrow \infty} ( \arctan\frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{2.2^2} +....+ \arctan \frac {1}{2n^2})$

Question

Calcular $$\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \arctan\frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{2.2^2} +....+ \arctan \frac {1}{2n^2}\right)$$

Mi respuesta: Sé que $$\sum_{n=1}^N \arctan \left( \frac{2}{n^2} \right) =\sum_{n=1}^N \arctan (n+1)-\arctan(n-1)$$

ya que no soy capaz de encontrar el $\sum_{k=1}^{n} \arctan \frac {1}{2k^2}$

Necesito ayuda,,,,, cualquier sugerencia/solución será apreciada

gracias de antemano

Answer 1

$$\frac{1}{2n^2}=\frac{2}{4n^2}=\frac{2}{1+4n^2-1}=\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)}$$

Por lo tanto,

$$\arctan \left( \frac{1}{2n^2}\right) = \arctan (2n+1) - \arctan(2n-1)$$

¿Puede realizar la suma telescópica ahora?