¿Qué tipo de propiedad para los subsemigrupos o submonoides es ésta?

Question

Consideremos el conjunto sobre números no cero-racionales $\mathbb{Q}^*= \mathbb{Q}-\{0\}$ como un subsemigrupo de los números reales no nulos $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}-\{0\},$ donde la operación de semigrupo $\cdot$ es la multiplicación. Como un subsemigrupo, $\mathbb{Q}^*$ tiene la propiedad adicional de que:

$$\forall x\in \mathbb{R}^* \forall y\in \mathbb{Q}^*(x\cdot y\in \mathbb{Q}^*\Rightarrow x\in \mathbb{Q}^*). \tag{1}$$

¿Puedes darme el nombre de los subsemigrupos que obedecen a la propiedad (1), por favor? Además, considere la misma pregunta, pero para los monoides, no para los semigrupos. ¿Cuál es la propiedad en ese caso?

( editar : anteriormente había hecho una pregunta similar, sustituyendo "semigrupo" por "grupo". La respuesta en ese caso es que todos los subgrupos obedecen a la propiedad (1).

Answer 1

Un subconjunto $P$ de un semigrupo es derecho unitario si para todo $p \in P$ y $s \in S$ , $sp \in P$ implica $s \in P$ . Es unitario de izquierdas si para todo $p \in P$ y $s \in S$ , $ps \in P$ implica $s \in P$ . Es unitario si es unitario a la izquierda y a la derecha. Esta definición se aplica, por supuesto, a los subsemigrupos.

Si busca ejemplos, la clase de $E$ -Los semigrupos unitarios (semigrupos en los que el conjunto de idempotentes forma un subsemigrupo unitario) han sido ampliamente estudiados, tanto en la caso normal y en el caso general [1].

EDITAR. Otro ejemplo famoso: un submonoide de un monoide libre es libre si y sólo si es unitario.

También hay que tener en cuenta que existe una definición similar para las categorías. Una subcategoría $N$ de una categoría $C$ se dice que unitario si para todo $x, y \in {\text Mor}(C)$ ,

1. si $xy, x \in {\text Mor}(N)$ entonces $y \in {\text Mor}(N)$ y
2. si $xy, y \in {\text Mor}(N)$ entonces $xy \in {\text Mor}(N)$ .

[1] J. Almeida, J.-É. Pin y P. Weil, Semigrupos cuyos idempotentes forman un subsemigrupo , Matemáticas. Proc. Cambridge Phil. Soc. 111 (1992), 241-253.