Usted quiere Teorema de Bochner para las condiciones necesarias y suficientes. Las condiciones que das no aseguran la no negatividad de la medida con función característica $\phi$ . El teorema de Bochner lo hace, al exigir también que las matrices $(\phi(t_i-t_j))$ sea semidefinido positivo. La necesidad es fácil de ver. Consideremos las expectativas de la forma $$E\left|\sum_{k=0}^na_k \exp(i t_k X)\right|^2 = \sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n E (\exp(i(t_k-t_l)X) a_k \overline a_l ) =\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n \phi(t_k-t_l) a_k \overline a_l,$$ para la arbitrariedad $a_k\in\mathbb C$ . Dichas sumas deben ser no negativas para todas las elecciones del $a_k$ y por lo tanto $\phi$ debe ser definida positiva.
Por cierto, el límite $\phi(t)\to0$ como $|t|\to\infty$ que usted afirma, no es válida para todas las variables aleatorias reales. Si $P(X=1)=P(X=-1)=1/2$ entonces $\phi(t)=\cos(t)$ por ejemplo. O incluso más sencillo: si $P(X=0)=1$ entonces $\phi(t)=1$ para todos $t$ .
En su caso, donde $\phi\in C^\infty\cap L^1 \cap L^\infty$ existe una función $f$ no necesariamente negativo, tal que $\phi(t)=\int \exp(itx)f(x)\,dx$ . Pero sin comprobar algo equivalente a la condición de Bochner de que el núcleo $K(s,t)=\phi(s-t)$ es positiva definida, no sabrá que $f$ es no negativo.
Por ejemplo, la función $\phi(t)=1/(1+t^2)$ satisface sus condiciones, y es la función característica de una distribución de probabilidad. Pero la función $\psi(t)=2\phi(t)-\phi(2t)$ también satisface las condiciones y no es la función característica de ninguna distribución de probabilidad.
