Evaluar $\oint (xy\, dx + xy^2 \,dy)$ por el Teorema de Stokes donde la superficie $S$ es un cuadrado con los vértices en $(0,1)$ , $(1,0)$ , $(0,-1)$ y $(-1,0)$ .
Mi intento : La plaza se compone de $4$ líneas a saber -
- $y=-x+1$
- $y=x-1$
- $y=-x-1$
- $y=x+1$
A partir del Teorema de Stokes, obtengo de la integral de línea dada, $$\iint_S (y^2-x) \,dx\, dy$$ Ahora bien, como el cuadrado está dividido simétricamente en $4$ partes por el $X$ y $Y$ ejes, podemos considerar sólo el triángulo en el primer cuadrante y obtenemos $$\iint_S (y^2-x) \,dx\, dy=4\cdot \int_{x=0}^{x=1}\int_{y=1}^{y=1-x} (y^2-x) \,dx\, dy \tag1$$ Evaluando esto, obtengo la respuesta como $\boxed{\color{red}{4\cdot \frac{1}{12}= \frac{1}{3}}}$
Sin embargo, un amigo me dijo que aunque el cuadrado es simétrico, el campo vectorial dado por $(xy\hat i+xy^2\hat j)$ no se divide simétricamente en $4$ partes por el $X$ y $Y$ ejes. Así que no puedo tener en cuenta sólo una parte y multiplicar por $4$ . Me dijo que debía evaluar la integralidad para todos $4$ partes (o triángulos).
Lo hice y como respuesta obtuve $-\frac{1}{3}$ que puede tener el signo negativo, ya que he viajado en el sentido de las agujas del reloj. Pero la dirección no debería importar en las integrales de superficie. También tengo dudas sobre mi proceso de trabajo en este último intento. En este intento, he utilizado la última integral mencionada $(1)$ y cambiar sus límites a partir de las relaciones del $4$ rectas, evaluó las integrales de superficie.
Por último, recorrí el camino en el sentido de las agujas del reloj y evalué la integral de línea original como $-\frac{1}{3}$ .
Mi pregunta es : ¿Fue mi esfuerzo original a través del Teorema de Stokes un enfoque correcto? ¿O mi amigo tenía razón en cuanto a la forma en que debía utilizar el Teorema de Stokes?
