La prueba de que cos(1) es trascendental?

Question

Así que, yo estaba jugando en Wolfram|Alpha (como nerds nos gusta hacer) y dijo que cos(1) fue trascendental. Es posible que alguien me proporcione la prueba de que cos(1) es trascendental?

Answer 1

Si $\cos1$ es algebraica, por lo que es $\sin1=\sqrt{1-\cos^21}$. Por lo tanto $e^i=\cos1+i\sin1$ es algebraico. Pero, por Lindemann del teorema, $e^\alpha$ es trascendental cuando $\alpha$ es un valor distinto de cero algebraica de números.

Answer 2

Desde $ i $ es distinto de cero algebraica de números, a continuación, $ \lbrace i , 2i ,0\rbrace $ es un conjunto de distintos números algebraicos en $\mathbb{C}$. Por la Lindemann-Weierstrass teorema para cualquier no-cero de números algebraicos $ \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} $ tenemos $ \beta_1 e^{i} + \beta_2 e^{2i}+\beta_3 e^{0}\ne 0 $. Para obtener una contradicción, supongamos que $ cos(1) $ es algebraico. Recordemos que $ cos(1) =\dfrac{e^{i}+e^{-i}}{2}. $ $ 2cos(1) .e^{i}-e^{2i}-1=0 $ y, por tanto,$ (2cos(1) )e^{i}-1.e^{2i}-1.e^{0}=0 $. Pero esto es una contradicción con la Lindemann-Weierstrass teorema. Por lo tanto, $ cos(1) $ es trascendental. $\square $