Encontrar el valor RC correcto para las ecuaciones transitorias en un circuito RC de CC

Question

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab

Así que estoy haciendo este problema en el libro de Boylestad. Necesito encontrar \$v_c\$ y \$i_c\$ . He convertido la fuente de corriente en fuente de tensión. Encontré que el voltaje en el nodo superior incluyendo el condensador es de 3,27 V. Así que el $$v_c = 3.27(1-e^{-1/\tau})$$ La respuesta en la parte posterior del libro lo confirma. Donde tengo un problema es con el valor RC y la corriente \$i_c\$ .

Para el \$\tau\$ He supuesto que el valor R se ve desde la rama en el condensador, por lo que $$ \tau = \frac{(4460 \times6800)}{(4460+6800)}\times (0.000020) = 0.05386$$ sin embargo el libro dice que debe ser \$0.05380\$ Así que no estoy seguro de si he hecho el camino correcto aquí o el libro ha redondeado hacia abajo.

La respuesta en el libro para \$i_c\$ es

$$i_c = 1.22mAe^{-t/53.80ms}$$

He conseguido que esto sea correcto a través de la superposición, excepto por la \$\tau\$ . Así que en realidad mi única pregunta es cómo se trabaja \$\tau\$ .

Answer 1

Asumiendo el cierre del interruptor en \$ t= 0 \, s\$ y \$v_c(0) = 0\, V\$ el equivalente de Thevenin entre el cable del condensador superior y la referencia es: $$ V_{th} = 3.2753\, V $$ $$ R_{th} = 2.6934\, k \Omega $$

Así que (y teniendo en cuenta el comentario de @G36): $$ RC = 0.05386\, s $$

La expresión de la tensión del condensador para \$t\ge 0\$ es:

$$ v_c(t) = 3.2753(1-e^{-18.56t}) V $$

Sabiendo que $$ i_c(t) = C\frac{dv_c(t)}{dt} $$

$$ i_c(t) = 1.22\times10^{-3}e^{-18.56t} A $$

Answer 2

Primero, asumo que el interruptor se cierra en \$t=0\$ y no hay tensión inicial en el condensador.

Bien, estamos tratando de analizar el siguiente circuito:

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab

Cuando usamos y aplicamos KCL podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

$$ \begin{cases} \text{I}_1=\text{I}_2+\text{I}_3\\ \\ 0=\text{I}_\text{k}+\text{I}_3+\text{I}_4\\ \\ \text{I}_\text{n}=\text{I}_\text{k}+\text{I}_4\\ \\ \text{I}_2=\text{I}_\text{n}+\text{I}_1 \end{cases}\tag1 $$

Cuando usamos y aplicamos Ley de Ohm podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

$$ \begin{cases} \text{I}_1=\frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}\\ \\ \text{I}_2=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}\\ \\ \text{I}_3=\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_3}\\ \\ \text{I}_4=\frac{\text{V}_\text{n}-\text{V}_2}{\text{R}_4} \end{cases}\tag2 $$

Sustituir \$(2)\$ en \$(1)\$ para conseguirlo:

$$ \begin{cases} \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}+\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_3}\\ \\ 0=\text{I}_\text{k}+\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_3}+\frac{\text{V}_\text{n}-\text{V}_2}{\text{R}_4}\\ \\ \text{I}_\text{n}=\text{I}_\text{k}+\frac{\text{V}_\text{n}-\text{V}_2}{\text{R}_4}\\ \\ \frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}=\text{I}_\text{n}+\frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1} \end{cases}\tag3 $$

Ahora, no es difícil resolver para \$\text{V}_1\$ :

$$\text{V}_1=\frac{\text{R}_2\left(\text{R}_1\left(\text{I}_\text{k}\text{R}_4+\text{V}_\text{n}\right)+\text{V}_\text{i}\left(\text{R}_3+\text{R}_4\right)\right)}{\text{R}_1\left(\text{R}_2+\text{R}_3+\text{R}_4\right)+\text{R}_2\left(\text{R}_3+\text{R}_4\right)}\tag4$$

Donde utilicé el código de Mathematica para resolverlo:

In[1]:=FullSimplify[
 Solve[{I1 == I2 + I3, 0 == Ik + I3 + I4, In == Ik + I4, 
   I2 == In + I1, I1 == (Vi - V1)/R1, I2 == V1/R2, I3 == (V1 - V2)/R3,
    I4 == (Vn - V2)/R4}, {In, I1, I2, I3, I4, V1, V2}]]

Out[1]={{In -> (Ik (R1 + R2) R4 - R2 Vi + (R1 + R2) Vn)/(
   R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  I1 -> (-Ik R2 R4 + (R2 + R3 + R4) Vi - R2 Vn)/(
   R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  I2 -> (Ik R1 R4 + (R3 + R4) Vi + R1 Vn)/(
   R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  I3 -> (-Ik (R1 + R2) R4 + R2 Vi - (R1 + R2) Vn)/(
   R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  I4 -> (-Ik (R2 R3 + R1 (R2 + R3)) - R2 Vi + (R1 + R2) Vn)/(
   R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  V1 -> (R2 (Ik R1 R4 + (R3 + R4) Vi + R1 Vn))/(
   R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  V2 -> (Ik (R2 R3 + R1 (R2 + R3)) R4 + R2 R4 Vi + R1 R3 Vn + 
    R2 (R1 + R3) Vn)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4))}}

---

Cuando queremos aplicar la derivación de arriba a su circuito tenemos que usar Transformación de Laplace (Utilizaré nombres de funciones en minúsculas para las funciones que se encuentran en el dominio (complejo) s, por lo que \$\text{y}\left(\text{s}\right)\$ es la transformada de Laplace de la función \$\text{Y}\left(t\right)\$ ):

• $$\text{R}_2=\frac{1}{\text{sC}_1}\tag5$$
• La tensión de entrada, \$\text{V}_\text{i}\$ es una tensión continua estable igual a \$\hat{\text{u}}_\text{i}\$ Así que..: $$\text{v}_\text{i}\left(\text{s}\right)=\frac{\hat{\text{u}}_\text{i}}{\text{s}}\tag6$$
• La tensión de entrada, \$\text{V}_\text{n}\$ es una tensión continua estable igual a \$\hat{\text{u}}_\text{n}\$ Así que..: $$\text{v}_\text{n}\left(\text{s}\right)=\frac{\hat{\text{u}}_\text{n}}{\text{s}}\tag7$$
• La corriente de entrada, \$\text{I}_\text{k}\$ es una corriente continua estable igual a \$\hat{\text{i}}_\text{k}\$ Así que..: $$\text{i}_\text{k}\left(\text{s}\right)=\frac{\hat{\text{i}}_\text{k}}{\text{s}}\tag8$$

Así, podemos reescribir la ecuación \$(4)\$ de la siguiente manera:

$$\text{v}_1\left(\text{s}\right)=\frac{\frac{1}{\text{sC}_1}\cdot\left(\text{R}_1\left(\frac{\hat{\text{i}}_\text{k}}{\text{s}}\cdot\text{R}_4+\frac{\hat{\text{u}}_\text{n}}{\text{s}}\right)+\frac{\hat{\text{u}}_\text{i}}{\text{s}}\cdot\left(\text{R}_3+\text{R}_4\right)\right)}{\text{R}_1\left(\frac{1}{\text{sC}_1}+\text{R}_3+\text{R}_4\right)+\frac{1}{\text{sC}_1}\cdot\left(\text{R}_3+\text{R}_4\right)}\tag9$$

Utilizando la transformada inversa de Laplace podemos ver que:

$$\text{V}_1\left(t\right)=\frac{\left(\text{R}_1\hat{\text{u}}_\text{n}+\left(\text{R}_3+\text{R}_4\right)\hat{\text{u}}_\text{i}+\text{R}_1\text{R}_4\hat{\text{i}}_\text{k}\right)\left(1-\exp\left(-\frac{\text{R}_1+\text{R}_3+\text{R}_4}{\text{C}\text{R}_1\left(\text{R}_3+\text{R}_4\right)}\cdot t\right)\right)}{\text{R}_1+\text{R}_3+\text{R}_4}\tag{10}$$

Donde utilicé el siguiente código de Mathematica:

In[2]:=R2 = 1/(s*c);
Vi = Ui/s;
Vn = Un/s;
Ik = ik/s;
FullSimplify[
 InverseLaplaceTransform[(R2 (Ik R1 R4 + (R3 + R4) Vi + R1 Vn))/(
  R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), s, t]]

Out[2]=-(((-1 + E^(-(((R1 + R3 + R4) t)/(
     c R1 (R3 + R4))))) (ik R1 R4 + (R3 + R4) Ui + R1 Un))/(
 R1 + R3 + R4))

Así, la constante de tiempo viene dada por:

$$\tau=\frac{\text{C}\text{R}_1\left(\text{R}_3+\text{R}_4\right)}{\text{R}_1+\text{R}_3+\text{R}_4}\tag{11}$$

---

Usando sus valores, podemos ver que:

$$\tau=\frac{3791}{70375}\approx0.0538686\space\text{s}\tag{12}$$

Y para \$\text{V}_1\left(t\right)\$ encontramos:

1. Para el circuito izquierdo de su pregunta: $$\text{V}_1\left(t\right)=\frac{1844}{563}\left(1-\exp\left(-\frac{70375 t}{3791}\right)\right)\tag{13}$$
2. Para su circuito derecho en su pregunta: $$\text{V}_1\left(t\right)=\frac{1844}{563}\left(1-\exp\left(-\frac{70375 t}{3791}\right)\right)\tag{14}$$

Donde utilicé el siguiente código de Mathematica:

In[3]:=R1 = (68/10)*1000;
R3 = (39/10)*1000;
R4 = 560;
c = 20*10^(-6);

In[4]:=ik = 5*10^(-3);
Ui = 4;
Un = 0; FullSimplify[-(((-1 + 
     E^(-(((R1 + R3 + R4) t)/(
      c R1 (R3 + R4))))) (ik R1 R4 + (R3 + R4) Ui + R1 Un))/(
  R1 + R3 + R4))]

Out[4]=-(1844/563) (-1 + E^(-70375 t/3791))

In[5]:=ik = 0;
Ui = 4;
Un = 28/10; FullSimplify[-(((-1 + 
     E^(-(((R1 + R3 + R4) t)/(
      c R1 (R3 + R4))))) (ik R1 R4 + (R3 + R4) Ui + R1 Un))/(
  R1 + R3 + R4))]

Out[5]=-(1844/563) (-1 + E^(-70375 t/3791))

Por lo tanto, las funciones de tensión en el dominio del tiempo (la tensión a través del condensador) son las mismas para ambos circuitos.

Answer 3

Utilice la regla de aplicación de la tensión antes y después para determinar la misma.