Calcule el valor del siguiente límite

Question

Así que he dado el límite: $$\lim_{x\to0} \frac{2\sin\left ( e^{-\frac{x^2}{2}} -\cos x \right)}{(\arctan(\sinh(x^2))^2}$$

He estado luchando durante horas con él. Desde que tengo la forma indefinida cuando pongo $x=0$ He probado con el método de L'Hopital y he llegado a este punto:

$$\lim_{x\to 0} \frac{2\cos(e^{-\frac{x^2}{2}}-\cos x)(e^{-\frac{x^2}{2}}(-x)+\sin x)}{\frac{4x \arctan(\sinh(x^2))\cosh(x^2)}{\sinh(x^2)+1}}$$

Sigue aquí cuando sustituyo x por $0$ Todavía tengo $0$ . Intenté factorizar la x, también intenté usar las identidades $cos(A-B)$ y demás, pero nada.

Creo que la respuesta que debería salir es $\frac{1}{6}$

Les agradecería mucho su ayuda, Annalisa

Answer 1

Si está al tanto de las expansiones de Taylor entonces: $$ e^{\frac{-x^2}{2}} =_{x \rightarrow 0} 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4) $$ $$ \cos(x) =_{x \rightarrow 0} 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) $$ Entonces $$ e^{\frac{-x^2}{2}} - \cos(x) =_{x \rightarrow 0} \frac{x^4}{12} + o(x^4) $$ Ahora, porque $sin(x) =_{x \rightarrow 0} x + o(x)$ entonces $$ 2 \sin( e^{\frac{-x^2}{2}} - \cos(x)) =_{x \rightarrow 0} \frac{x^4}{6} + o(x^4) $$ Y para el denominador: $$ \sinh(x^2) =_{x \rightarrow 0} x^2 + o(x^2) $$ $$ \arctan(x) =_{x \rightarrow 0} x + o(x) $$ Así que: $$ (\arctan(\sinh(x^2))^2 =_{x \rightarrow 0} x^4 + o(x^4) $$

Y así: $$ \frac{2 \sin( e^{\frac{-x^2}{2}} - \cos(x))}{(\arctan(\sinh(x^2))^2} =_{x \rightarrow 0} \frac{1}{6} + o(1) $$

Answer 2

Tenemos que

$$\frac{2\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{(\arctan(\sinh(x^2))^2} =$$

$$=\left(\frac{\sinh(x^2)}{\arctan(\sinh(x^2)}\right)^2\cdot\left(\frac{x^2}{\sinh(x^2)}\right)^2\cdot \frac{\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }\cdot2\cdot\frac{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }{x^4} $$

y ya que por límites estándar

$$\left(\frac{\sinh(x^2)}{\arctan(\sinh(x^2)}\right)^2\to 1, \quad\left(\frac{\sinh(x^2)}{x^2}\right)^2\to 1, \quad \frac{\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x } \to 1$$

reducimos a

$$\lim_{x\to 0} \frac{2\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{(\arctan(\sinh(x^2))^2} =2\cdot \lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }{x^4} = 2 \cdot \frac1{12}= \frac16$$

que puede demostrarse por la expansión de Taylor o por l'Hospital de la siguiente manera

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }{x^4}\stackrel{H.R.}=\lim_{x\to 0}\frac{-xe^{\frac{-x^2}2}+\sin x }{4x^3}\stackrel{H.R.}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2e^{\frac{-x^2}2}-e^{\frac{-x^2}2}+\cos x }{12x^2}=$$

$$=\lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{-x^2}2}}{12}+\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{\frac{-x^2}2}+\cos x-1 }{12x^2}=\frac1{12}+0=\frac1{12}$$

de hecho por los límites estándar

$$\frac{1-e^{\frac{-x^2}2}+\cos x-1 }{12x^2}=\frac{1}{24}\frac{e^{\frac{-x^2}2}-1}{-\frac{x^2}2}-\frac{1}{12}\frac{1-\cos x }{x^2}=0$$

Answer 3

Podría ser más fácil considerar algunos límites comunes como $$ \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1\tag1 $$ $$ \lim_{x\to0}\frac{\sinh(x)}{x}=1\tag2 $$ $$ \lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)}{x}=1\tag3 $$ Utilizando estos tres límites, obtenemos $$ \begin{align} &\lim_{x\to0}\frac{2\sin\left(e^{-x^2/2}-\cos(x)\right)}{\left(\arctan\left(\sinh\left(x^2\right)\right)\right)^2}\\ &=\scriptsize2\,\underbrace{\lim_{x\to0}\frac{\sin\left(\color{#C00}{e^{-x^2/2}-\cos(x)}\right)}{\color{#C00}{e^{-x^2/2}-\cos(x)}}\vphantom{\frac1{\left(x^2\right)}}}_{1}\underbrace{\left(\lim_{x\to0}\frac{\color{#090}{\sinh\left(x^2\right)}}{\arctan\left(\color{#090}{\sinh\left(x^2\right)}\right)}\lim_{x\to0}\frac{\color{#00F}{x^2}}{\sinh\left(\color{#00F}{x^2}\right)}\right)^2}_{(1\cdot1)^2}\lim_{x\to0}\frac{e^{-x^2/2}-\cos(x)}{x^4}\tag4\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{e^{-x^2/2}-\cos(x)}{x^4}\tag5 \end{align} $$ que es mucho más fácil de evaluar con L'Hôpital: $$ \begin{align} 2\lim_{x\to0}\frac{e^{-x^2/2}-\cos(x)}{x^4} &=2\lim_{x\to0}\frac{-xe^{-x^2/2}+\sin(x)}{4x^3}\tag6\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\left(x^2-1\right)e^{-x^2/2}+\cos(x)}{12x^2}\tag7\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\left(-x^3+3x\right)e^{-x^2/2}-\sin(x)}{24x}\tag8\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\left(x^4-6x^2+3\right)e^{-x^2/2}-\cos(x)}{24}\tag9\\[3pt] &=\frac16\tag{10} \end{align} $$