Varianza de las estadísticas de orden extremo

Question

Dejemos que $x_{i:n}$ sea el $i$ -estadística de orden de $n$ extracciones i.i.d. de la CDF $F$ sobre soporte compacto $[0,1]$ es decir $x_{1:n}\leq x_{2:n}\leq \cdots \leq x_{n:n}$ .

¿Siempre tenemos $Var(x_{1:n})\leq Var(x_{2:n})$ ?

Answer 1

Pregunta: Es Var( $1^{\text{st}}$ estadística de pedidos) $\leq$ Var( $2^{\text{nd}}$ estadística de orden) para todos los $n\geq 2$ cuando la distribución matriz tiene soporte en [0,1]?

Respuesta: La forma más fácil de demostrar que el resultado NO se cumple siempre es mediante un contraejemplo, y el contraejemplo más fácil que se me ocurre es tomar un pdf triangular hacia arriba:

$$f(x) = 2x \quad \quad \text{ for } 0\leq x\leq 1$$

A continuación, se puede calcular el pdf de la $1^{\text{st}}$ de la estadística de orden, y de la $2^{\text{nd}}$ estadística de orden, y por lo tanto la varianza de cada uno, lo que produce que:

$$\text{Var}(X_{1:n}) = \frac{1}{n+1}-\frac{\pi \Gamma (n+1)^2}{4 \Gamma \left(n+\frac{3}{2}\right)^2}$$

$$\text{Var}(X_{2:n}) = \frac{2}{n+1}-\frac{9 \pi (n!)^2}{16 \Gamma \left(n+\frac{3}{2}\right)^2}$$

El siguiente diagrama traza $\text{Var}(X_{1:n})$ y $\text{Var}(X_{2:n})$ en función de $n$ :

y, como es evidente, para este caso, la varianza del $1^{\text{st}}$ es mayor (no menor) que la varianza del $2^{\text{nd}}$ estadística de pedidos.