Forma de una función armónica

Question

Dado que $\phi(x^2+y^2)$ es armónico, donde $\phi: (0, \infty)\to \mathbb{R}$ , encontrar la forma de $\phi$ .

No sé a qué se refieren con lo de la forma ni he podido encontrar nada en internet... Mi libro dice que para la función compleja $f(z)= (y^3-3x^2y)+i(-3xy^2+x^3+C)$ la forma $f(z) = i(z^3+c)$ es fácilmente verificable y se sugiere tomar $y=0$ .

Gracias por cualquier ayuda, seguiré buscando.

EDITAR De la ayuda que obtuve a continuación:

Tomando $\psi(x,y) = \phi(x^2+y^2)$ entonces \begin{align*} \psi_x =& \phi_x(x^2+y^2)2x \\ \psi_xx =& 2\phi_x(x^2+y^2)+4x^2\phi_{xx}(x^2+y^2) \\ \psi_y =& \phi_y(x^2+y^2)2y \\ \psi_yy =& 2\phi_y(x^2+y^2) + 4y^2\phi_{yy}(x^2+y^2) \end{align*} Puedo añadir $\psi_{xx} + \psi_{yy} = 0$ pero ¿a dónde me lleva eso? ¿A dónde debo ir desde aquí?

EDIT2: Utilizando las coordenadas polares sabemos $x^2+y^2 = r^2$ por lo que tenemos: \begin{align*} \phi_r =& \phi_r(r^2)2r \\ \phi_{rr} =& 2\phi_r(r^2) + 4r^2\phi_{rr}(r^2) \\ \phi_\theta =& 0 \end{align*}

Answer 1

Una pista: Tenga en cuenta que $\phi$ es una función de una variable, por lo que $\psi_{xx} + \psi_{yy} = 0$ implica $$4\phi'(x^2+y^2)+4(x^2+y^2)\phi''(x^2+y^2) = 0,$$ es decir $$\phi'(t)+t\phi''(t) = 0.$$

Answer 2

Sugerencia: convertir a coordenadas polares. La condición para $u(r,\theta)$ para ser armónico es $u_{rr} + u_r/r + u_{\theta,\theta}/r^2 = 0$ .

Alternativamente, considere el mapa de $\mathbb C$ en ${\mathbb C} \backslash \{0\}$ por $w \mapsto z = e^{w}$ . $u(z)$ es armónico en ${\mathbb C} \backslash \{0\}$ si y sólo si $U(w) = u(e^{w})$ es armónico en $\mathbb C$ . ¿Qué funciones armónicas de $w$ dependen sólo de la parte real de $w$ ?