¿Puede escribirse todo operador de densidad como un producto exterior de dos vectores?

Question

Tengo la sensación de que esto es un muy pregunta básica. Me disculpo si lo es.

Utilizando la notación de Dirac, puede todo operador de densidad (mixto) $\rho_A$ del sistema $A$ puede escribirse como el producto ket-bra (exterior) $|a_1 \rangle \langle a_2|$ para algunos vectores $|a_1\rangle , |a_2\rangle \ \in A$ ?

Lo pregunto porque en el libro "Quantum Computation and Quantum Information" de Nielsen & Chuang, la definición de operador de densidad reducida del operador $\rho^{AB}$ de sistemas $A$ y $B$ se da así:

$$\rho^{A} =\mathrm{tr}_B(\rho^{AB}) = \mathrm{tr}_B \left( |a_1 \rangle \langle a_2| \otimes |b_1 \rangle \langle b_2| \right) = | a_1 \rangle \langle a_2 | \ \ \mathrm{tr} (|b_1 \rangle \langle b_2| )$$

que, al menos para mí, está afirmando implícitamente dos cosas:

1. Cada operador $\rho^{AB} \in A \otimes B $ puede expresarse como un producto tensorial $\rho_A \otimes \rho_B$ para algunos $\rho_A \in A, \ \rho_B \in B$ que yo pensaba que sólo era cierto para separable $\rho^{AB}$ ,
2. Cada $A$ puede expresarse como un producto $|a_1 \rangle \langle a_2|$ y de forma similar para $B$ .

Así que este segundo punto es el que pregunto.

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Editar

Gracias a @NorbertSchuch por señalar mi error.

En la pregunta anterior he fusionado erróneamente dos definiciones del libro de Nielsen y Chuang en una ecuación. La primera es la definición del operador de densidad reducida

$$\rho^{A} =\mathrm{tr}_B(\rho^{AB})$$

La segunda es la definición del rastro parcial que se define (con total independencia de la definición anterior) como

$$\mathrm{tr}_B \left( |a_1 \rangle \langle a_2| \otimes |b_1 \rangle \langle b_2| \right) = | a_1 \rangle \langle a_2 | \ \ \mathrm{tr} (|b_1 \rangle \langle b_2| )$$

Lo que el libro no dice -que es lo que yo buscaba- es lo que el definición general de la traza parcial es en términos de notación bra-ket.

He encontrado la definición general de la traza parcial aquí .

Así que, gracias a esto y a las respuestas de @CraigGidney, @WetSavannaAnimalakaRodVance, @ACuriousMind ahora sé que la respuesta es no .

Answer 1

No todo tensor es un tensor simple. Los tensores simples de la forma $a\otimes b\in A\otimes B$ span el producto tensorial, lo que significa que un elemento general $t$ del producto tensorial es un combinación lineal de estos tensores simples, es decir $$ t = \sum c_{ij} a_i\otimes b_j$$ para alguna base $a_i,b_j$ de $A$ y $B$ respectivamente. Si $A$ es un espacio de operadores en un espacio de Hilbert de dimensión finita $H_A$ y, a continuación, aplicar esta propiedad de nuevo a $A = H_A\otimes H_A^\ast$ para obtener una descomposición de dicho operador en términos de bras y kets. Además, la ecuación que has escrito no tiene ningún sentido - $\rho^A$ se supone que es un operador de $A$ pero $\langle a_1 \vert a_2 \rangle$ y $\operatorname{tr}(\lvert b_1 \rangle\langle b_2 \rvert)$ parecen ser ambos números. Puede encontrar la definición correcta de la traza parcial en el artículo de Wikipedia .

Answer 2

No. Contraejemplo: elija una base en el espacio cuántico 2D, de modo que los estados de la base se escriban $\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$ and $\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$ .

Ahora piensa en una mezcla, con un estado que tiene probabilidad $p$ para estar en el estado 1. La matriz de densidad es entonces $\mathrm{diag}(p,\,1-p)$ que no es singular para $p\not\in\{0,\,1\}$ . Pero los productos externos de los vectores son siempre singulares, por lo que ningún producto externo te dará la matriz de densidad.

Compruebe cuidadosamente esta última afirmación en el caso 2D: las filas de $X\,Y^\dagger$ para vectores columna $X$ , $Y$ son todas versiones escaladas de la fila $Y^\dagger$ (los factores de escala son simplemente los componentes de $X$ ).

Answer 3

La respuesta a su pregunta es NO.

El contraejemplo más sencillo es la matriz identidad. No hay solución para $|a\rangle\langle b| = I$ .

Por ejemplo, intente resolver $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z & t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 \\0&1 \end{bmatrix}$ . Desde $xt=0$ sabemos que $x=0$ o $t=0$ . Pero claramente $x$ no puede ser 0, ya que necesitamos $xz=1$ y claramente $t$ no puede ser 0 ya que necesitamos $yt=1$ . Por lo tanto, no hay solución.

De forma más abstracta, consideremos que el operador $|a\rangle\langle b|$ es la matriz que envía $b$ a $a$ al multiplicar por la izquierda, pero sí nada más (nada más que no esté implícito en la linealidad, para ser técnicos). Cualquier vector perpendicular a $b$ no se envían a ninguna parte, y terminan como 0. Algunos operadores de densidad no envían cualquier a 0, pero un operador de la forma $|a\rangle\langle b|$ no puede lograr eso ni siquiera para un espacio 2d.

Answer 4

Usted está malinterpretando (y por lo tanto citando erróneamente) el libro de Nielsen y Chuang. Lo que hacen es definir primero la matriz de densidad reducida $\rho_A$ de un estado bipartito $\rho_{AB}$ como $$\rho^{A} =\mathrm{tr}_B(\rho^{AB})$$ Luego, explican qué es un rastro parcial: Es el mapa lineal definido por su acción $$ \mathrm{tr}_B \left( |a_1 \rangle \langle a_2| \otimes |b_1 \rangle \langle b_2| \right) = | a_1 \rangle \langle a_2 | \ \ \mathrm{tr} (|b_1 \rangle \langle b_2| )$$ sobre una base (posiblemente sobredimensionada) $|a_1 \rangle \langle a_2| \otimes |b_1 \rangle \langle b_2|$ .

Sin embargo, nunca afirman que las dos ecuaciones anteriores sean iguales.