Argumento sencillo para demostrar la conexión/desconexión de $\mathbb R^n\setminus \mathbb R^m$ .

Question

Pensé en el hecho estándar de la topología que dice que

$\mathbb R^{n}\setminus \mathbb R^m$ , donde $\mathbb R^n$ , $\mathbb R^m$ tienen topologías euclidianas estándar y $$\mathbb R^m=\{(x_1,\ldots,x_m,0,\ldots,0)\in \mathbb R^n\mid x_i\in \mathbb R\}$$ es

• conectado a la ruta en caso de que $n-m\geq 2$
• se divide en dos componentes en caso de $n-m=1$ (está claro que en caso de $n=m$ obtenemos un conjunto vacío que no interesa aquí).

¿Cuál es el argumento topológico puro (sencillo de seguir, pero riguroso) más adecuado para demostrar estos hechos en el primer curso de topología?

Me refiero al argumento adecuado si, por ejemplo, no estamos asumiendo ni el conocimiento de la teoría de la dimensión ni el personal de los espacios lineales como subespacios ortogonales y etc.

También se apreciará una buena referencia.

Answer 1

Siguiendo la sugerencia de Mirko en el comentario, creo que lo más fácil es demostrar las afirmaciones directamente. Para $n-m \ge 2$ puedes elegir $2$ puntos genéricos y exhibir un camino que los conecte explícitamente. Para $n-m=1$ se puede demostrar que cualquier camino en $\mathbb{R}^n$ que conecta los dos componentes tendrá que pasar por $\mathbb{R}^m$ por el teorema del valor intermedio.

Answer 2

Nombre $A =\mathbb R^{n}\setminus \mathbb R^m$

Caso $n-m=1$

Usted tiene $A = A^+ \cup A^-$ y $A^+ \cap A^- = \emptyset$ donde $$\begin{cases} A^+ = \{x \in A \mid x_n >0\} = \varphi^{-1}(\mathbb R_+)\\ A^- = \{x \in A \mid x_n <0\} = \varphi^{-1}(\mathbb R_-) \end{cases} $$

con $\varphi$ la forma lineal $\varphi: (x_1, \dots, x_n) \mapsto x_n$ . Ambos $A^+,A^-$ son convexas y, por tanto, conectadas por un camino (y conectadas).

Caso $n-m \ge 2$

Considere dos puntos $P_1=(x_1, \dots, x_n)$ y $P_2=(y_1, \dots, y_n)$ en $A$ . $(x_{n-1}, x_n)$ y $(y_{n-1},y_n)$ son dos puntos en $D = \mathbb R^2 \setminus \{(0,0)\}$ . Esos dos puntos pueden conectarse con una trayectoria compuesta por un máximo de dos segmentos de línea en $D$ : $[P_1,U] \cup [U,P_2]$ con $U = (u_1,u_2) \in D$ .

La trayectoria formada por los dos segmentos de línea $$\begin{cases} [(x_1, \dots , x_n),(0, \dots, 0, u_1,u_2)]\\ [(0, \dots, 0, u_1,u_2)],(y_1, \dots , y_n)] \end{cases}$$ se une a $P_1$ a $P_2$ en $A$ .

Answer 3

Aquí hay más detalles. Para $n=m+1$ demostrar que $(0,...,0,1)$ y $(0,...,0,-1)$ están en diferentes componentes. Tenga en cuenta que $\Bbb R^n_+:=\{(x_1,...,x_n):x_n>0)\}$ y $\Bbb R^n_-:=\{(x_1,...,x_n):x_n<0)\}$ cada uno es un subconjunto cerrado y abierto no vacío en la topología relativa de $\Bbb R^n\setminus \Bbb R^m$ (y $\Bbb R^n_-\cup\Bbb R^n_+=\Bbb R^n\setminus \Bbb R^m$ ). Alternativamente (usando esa $\Bbb R^n\setminus \Bbb R^m$ es abierto, por lo que la conectividad sería lo mismo que la conectividad del camino) utilizar que por el teorema del valor intermedio (como se señala en la respuesta de quarague) cualquier camino entre $(0,...,0,1)$ y $(0,...,0,-1)$ tendría que contener un punto con $x_n=0$ que pertenece a $\Bbb R^m$ .

Cuando $n\ge m+2$ Tomemos dos puntos arbitrarios $A=(x_1,...,x_{n-2},p,q)$ y $B=(y_1,...,y_{n-2},r,s)$ cada uno en $\Bbb R^n\setminus \Bbb R^m$ . Hay algunos casos fáciles, por ejemplo, si $pr>0$ entonces tome el segmento de línea recta entre $A$ y $B$ evita $\Bbb R^m$ . Pero, en todos los casos, tenemos $(p,q)\neq(0,0)\neq(r,s)$ . El problema se reduce a encontrar un camino en $\Bbb R^2$ entre $(p,q)$ y $(r,s)$ que evita el origen. Esto sería más fácil de hacer con imágenes, y casos de muestra (interesantes), por ejemplo, si $p<0<r$ y $q=s=0$ entonces tome un segmento de línea desde $(p,0)$ a $(p,1)$ , entonces de $(p,1)$ a $(q,1)$ , entonces de $(q,1)$ a $(q,0)$ . Se podría incorporar (en alguna parte del procedimiento anterior) también tomar un segmento de línea en $\Bbb R^m$ de $(x_1,...,x_{n-2})$ a $(y_1,...,y_{n-2})$ .