Demostrar que si $q\in\mathbb{Z}$ entonces hay $n$ tal que $x^2-1$ en $\mathbb{Z}_n[x]$ tiene $q$ raíces al menos

Question

Demostrar que si $q\in\mathbb{Z}$ hay $n$ tal que $x^2-1$ en $\mathbb{Z}_n[x]$ tiene al menos $q$ raíces.

He visto un teorema similar: Si $p$ es primo y $d|p-1$ entonces $x^d-1$ tiene $d$ raíces en $\mathbb{Z}_p[x]$ pero no se me ocurrió cómo aplicarlo para resolver este caso.

¿Tal vez pueda usar el teorema del resto chino?

Answer 1

Un elemento de $\mathbb{Z}_n$ es una raíz de $x^2 -1$ si el elemento tiene un orden como máximo $2$ en el grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_n^{\times}$ .

Parece que sabes que para impar prime $p$ hay exactamente $2$ tales elementos en $\mathbb{Z}_p^{\times}$ .

Ahora puedes, por ejemplo usando el Teorema Chino del Resto, encontrar $n$ tal que $\mathbb{Z}_n^{\times}$ tiene un número arbitrario de elementos de orden como máximo $2$ .

Recuerde o demuestre que $\mathbb{Z}_n^{\times}$ es isomorfo a $\prod_{i=1}^k \mathbb{Z}_{p^{v_i}}^{\times}$ donde $n = \prod_{i=1}^k p_i^{v_i}$ con primos distintos $p_i$ .