Por qué $\sqrt{-4}$ no tiene $\pm 2i$ como sus dos soluciones?

Question

1) $\sqrt{-4} = 2\sqrt{-1} = 2i$

2) $\sqrt{5+12i} = \pm (3+2i)$ donde $i=\sqrt{-1}$

Por qué $\sqrt{-4}$ no tiene $\pm 2i$ como sus dos soluciones?

Cuadrando ambos $\pm 2i$ nos llevará a $-4$ . Al igual que en (2), todos los números complejos que dan $-4$ en ser cuadrado debe ser una parte de la respuesta. Entonces, ¿por qué $-2i$ no se toma como una solución?

Answer 1

"El conjunto de soluciones para $x^2=-4$ " es de hecho $\pm 2i$ pero $\sqrt{-4}$ se entiende convencionalmente que es sólo $2i$ . Se trata de la definición de $\sqrt{}$ nada más. El hecho de que (2) no elija una solución concreta (presumiblemente la del primer cuadrante) mientras que (1) sí lo hace parece un fallo en su referencia.

Answer 2

$\sqrt{x}$ se define como la raíz cuadrada no negativa de $x$ cuando $x\ge 0$ . Sin embargo, como $\mathbb{C}$ no está ordenado, no podemos distinguir $i$ y $-i$ por signos. La unidad imaginaria se define preferentemente como el número tal que $i^2=-1$ . En muchas situaciones, como la resolución de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales, es perfectamente posible sustituir $i$ por $-i$ . Así que $\sqrt{-1}=i$ es sólo una convención, con el fin de mantener la notación de un solo valor.