¿Cómo encontrar los puntos críticos de dos ecuaciones?

Question

Así que tengo esta función

$$f(x, y) = (x y)(1 xy)$$

que reescribo como $x-x^2y-y+xy^2$

Encuentro las derivadas parciales:

$$f_x(x,y)=1-2xy+y^2$$

$$f_y(x,y)=-x^2-1+2xy$$

Quiero buscar puntos $(a,b)$ tal que $f_x(a,b)=0$ y $f_y(a,b)=0$

Así que voy a escribir $x$ en términos de $a$ y $y$ en términos de $b$ .

Así que escribo:

$$1-2ab+b^2=0$$

y

$$-a^2-1+2ab=0.$$

Tengo discalculia y no tengo idea de cómo proceder a partir de aquí... los valores que obtengo son extraños y no tienen sentido...

Leí en alguna parte que cuando no se pueden tomar los puntos críticos de una ecuación , entonces se podría enderezar en otra forma ? ¿Es eso posible?

O si estoy diciendo tonterías, ¿puede alguien ayudarme y mostrarme algunos pasos sencillos sobre cómo llegar a los puntos críticos, con explicaciones sobre el porqué de dichos pasos? En la hoja de respuestas, los puntos críticos son:

$P_1(1, 1)$ y $P_2(1,1)$

¡Gracias!

Answer 1

Desde \begin{align} 1-2ab+b^2&=0\\ -a^2-1+2ab&=0 \end{align} Múltiple el segundo por $-1$ para conseguir

\begin{align} 1-2ab+b^2&=0\\ a^2+1-2ab&=0 \end{align} Ahora, fíjate en que $1 - 2ab$ aparece en ambos, así que escribe \begin{align} 1-2ab&= -b^2\\ 1-2ab&=-a^2 \end{align}

de lo que se puede concluir que $a^2 = b^2$ , lo que te da dos casos:

1. $a = b$
2. $a = -b$ .

Para la primera, su primera ecuación se convierte en \begin{align} 1-2ab+b^2&=0\\ 1-2a^2+a^2&=0\\ 1-a^2&=0\\ a^2&=1\\ a&=\pm 1 \end{align} y por lo tanto conduce a las soluciones $(1,1)$ y $(-1, -1)$ .

Ahora TÚ intenta hacer lo mismo para el segundo caso, sustituyendo $-a$ para $b$ en las ecuaciones para ver qué se obtiene.

Answer 2

Sugerencia: Escriba su sistema en la forma $$1+y^2=2xy$$ $$1+x^2=2xy$$ por lo que obtenemos $$x^2=y^2$$ o $$(x-y)(x+y)=0$$

Answer 3

Parece que las ecuaciones

$1 - 2ab + b^2 = 0 \tag 1$

y

$-a^2 - 1 + 2ab \tag 2$

son correctos. Los sumamos para obtener

$-a^2 + b^2 = 0, \tag 3$

lo que implica

$b = \pm a; \tag 4$

podemos sustituirlo en (2) y encontrar

$-a^2 -1 \pm 2a^2 = 0, \tag 5$

o

$a^2 - 1 = 0, \tag 6$

y

$3a^2 + 1 = 0; \tag 7$

descartamos (7) ya que no tiene soluciones reales. Así,

$a = \pm 1, \tag 8$

por lo que también

$b = \pm 1; \tag 9$

reducimos aún más las posibilidades cotejando (8), (9) con (1), y descubrimos que las soluciones son de hecho $(1, 1)$ y $(-1, -1)$ que también satisfacen (2).