Dar todas las álgebras booleanas sobre el conjunto finito

Question

Dado un conjunto finito $X=\{1,2,3\}$ ¿son las siguientes todas las álgebras booleanas?

$A_1=\{\{1\},\{2\}\},$ $A_2=\{\{1\},\{3\}\},$ $A_3=\{\{2\},\{3\}\},$

$A_4=\{\{1\},\{1,2\}\},$ $A_5=\{\{1\},\{1,3\}\},$ $A_6=\{\{1\},\{2,3\}\},$

$A_7=\{\{2\},\{1,2\}\},$ $A_8=\{\{2\},\{1,3\}\},$ $A_9=\{\{2\},\{2,3\}\},$

$A_{10}=\{\{3\},\{1,2\}\},$ $A_{11}=\{\{3\},\{1,3\}\},$ $A_{12}=\{\{3\},\{2,3\}\},$ $A_{13}=\{\{\},\{1,2,3\}\},$ $A_{14}=\{\}$

No consigo un ejemplo práctico así que por favor corrígeme si estoy usando mal la definición de un álgebra booleana sobre un conjunto

Answer 1

El conjunto vacío y el conjunto maximal siempre tienen que estar en el álgebra booleana, como en $A_{13}$ . En los primeros 12 casos que acaba de enumerar el átomos que es información suficiente en el caso de las álgebras booleanas finitas, y éstas son correctas.

Así que, completamente escrito, $A_1=\{\{\}, \{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ y así sucesivamente... $A_{13}$ está bien, y $A_{14}=\{\{\}\}$ .

Por lo demás, parece más o menos completo, se pierden los que tienen un átomo, como $\{\{\},\{1\}\}$ o $\{\{\},\{1,2\}\}$ y el más grande con 3 átomos, el conjunto de poderes completo $P(\{0,1,2\})$ .