¿Por qué es P(A,B| C)/P(B| C) = P(A| B,C)?

Question

Entiendo $P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$. El condicional es la intersección de A y B dividida por toda el área de B.

Pero, ¿por qué es $P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$?

¿Puedes dar algo de intuición?

¿No debería ser: $P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$?

Answer 1

Simplemente dibuja el diagrama de Venn. Entonces tenemos $$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$$ y la relación sigue dividiendo la primera expresión por la segunda.

Answer 2

\begin{align} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \ &= P(A|B,C) \end{align}