¿Cómo encontrar el orden de un grupo generado por dos elementos?

Question

Cuál es el orden de un grupo $G $ generado por dos elementos $x$ y $y$ con sujeción únicamente a las relaciones $x^3 = y^2 = (xy)^2 = 1$ ? Enumere los subgrupos de $G$ .

Como la relación anterior es la "única" relación, presumo que el orden de $x$ es $3$ y el orden de $y$ es $ 2$ . También y es la inversa de sí misma, y xy es la inversa de sí misma. La inversa de $x$ es $x^2$ .

He calculado los elementos del grupo manualmente utilizando la relación dada. $$G = \{1, x, x^2,y, xy, x^2y \}$$

Quiero saber si existe una fórmula para calcular el orden de $G$ ? Me encontré con otra pregunta donde la relación anterior es $x^3 = y^2 = (xy)^3 = 1$ . En este caso el grupo $G tiene orden 12. Es muy lento calcular los elementos manualmente. ¿Hay alguna forma mejor?

Answer 1

En primer lugar, tenemos $$ xyxy = 1 \implies yx = x^{-1}y^{-1} = x^2y $$ Desde $xy = yx^2$ concluimos que cada elemento de $G$ puede escribirse de la forma $x^jy^k$ lo que significa que hay como máximo $|x| \cdot |y| = 6$ elementos. Enumerar los elementos de $G$ tenemos: $$1,x,x^2,y,xy,x^2y$$

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Elaboración, por petición:

Supongamos que tenemos una palabra como $x^2 y xy$ podemos reducirlo con la relación $yx = x^2y$ como $$ x^2 y^2 xy = \\ x^2 y(yx) y =\\ x^2 y x^2 y y =\\ x^2 (yx) x y^2 =\\ x^2 x^2 (y x) y^2 =\\ x^2 x^2 x^2 y y^2 =\\ x^6 y^3 $$ Tal vez vea cómo ese método podría extenderse de forma inductiva.

Answer 2

Tenemos $xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ Por lo tanto $yxy=x^{-1}$ . Es bien sabido que el grupo $\langle x,y \mid x^3=y^2=1, yxy=x^{-1}\rangle $ es el grupo diédrico $D_3$ . Tiene $6$ elementos. Además $D_3\simeq C_2\ltimes C_3\simeq S_3$ con $C_2=\langle y \mid y^2=1\rangle$ y $C_3=\langle x \mid x^3=1\rangle$ .