Significado de los cuantificadores de predicado duplicados

Question

¿Cuál es el significado de los cuantificadores de predicado duplicados? Ejemplos:

$$ x\ x\ x\ x\ P(xy) \\ y\ x\ x\ x\ x\ y\ x\ P(xy) \\ y\ y\ x\ x\ y\ y\ x\ x\ x\ P(xy) $$

Answer 1

El cuantificador más cercano a la variable cuantificada domina cualquier cuantificador anterior.

La primera equivale a $\forall x P(x, y)$ con $y$ sin ataduras.

La segunda, por tanto, equivale a $\exists y \exists x P(x, y)$ .

Answer 2

Los cuantificadores múltiples de la misma variable no son erróneos, pero no cambian la validez de la frase después del primer cuantificador, y esto es porque $\forall x P(xy)$ no depende de $x$ . Por lo tanto, si se añade $\exists x$ de $\forall x$ delante nada cambia. Sólo cambiaría si $x$ era una variable libre en la frase.