Espectáculo $\frac{d}{dx} \tan^3{x}-3 \tan{x}+3x = 3 \tan^4{x}$

Question

¿Cómo puedo hacer esto?

Espectáculo $\frac{d}{dx} \tan^3{x}-3 \tan{x}+3x = 3 \tan^4{x}$.

De mi trabajo.

$$ \begin{align*} \frac{d}{dx} \tan^3 x -3 \tan x+3x &= 3 \tan^2 x \sec^2 x - 3 \sec^2 x + 3 \\ &= 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \frac{1}{\cos^2 x} - 3 \frac{1}{\cos^2 x} + 3 \\ &= 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} - 3 \frac{1}{\cos^2 x} + 3 \\ &= \frac{3\sin^2 x - 3\cos^2 x + 3\cos^4 x}{\cos^4 x} \\ &= \frac{3(\sin^2 x - \cos^2 x + \cos^4 x)}{\cos^4 x}. \end{align*} $$

Llegué aquí tan lejos, ¿me equivoco o algo?

Answer 1

No hay errores. Seguir adelante...

Desde donde lo dejó: $$\eqalign{ {3(\sin^2 x-\cos^2 x+\cos^4 x)\\cos^4 x} Y={3\bigl(\sin^2 x+\cos^2 x(\cos^2 x-1)\bigr)\\cos^4 x}\cr Y={3\bigl(\sin^2 x+\cos^2 (x-\sin^2 x)\bigr)\\cos^4 x}\cr Y={3\bigl(\sin^2x ( 1-\cos^2 x) \bigr)\\cos^4 x}\cr Y={3 \sen^2x (\sin^2 x)\\cos^4 x}\cr Y={3 \sin^4x \\cos^4 x}\cr Y=3\bronceado^4 x. } $$

Answer 2

Su enfoque es correcto, pero aquí es otra manera de obtener la misma respuesta. Observe que tanto el derivado (es decir, $3 \tan^2 x \sec^2 x - 3 \sec^2 x + 3$) y el lado derecho ($=3 \tan^4 x$) involucrar sólo a $\tan^2x$ términos. Esta es una situación ideal para hacer uso de la identidad de $$\color{blue}{(\ast)} \quad \sec^2 x - \tan^2 x = 1 .$$ Por supuesto, esto es sólo una variante de la habitual teorema de Pitágoras: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

He aquí la secuencia completa de pasos: $$ \begin{align*} 3 \tan^2 x \sec^2 x - 3 \sec^2 x + 3 &= 3 \ \sec^2 x (\tan^2 x -1) + 3 \\ &\stackrel{\color{blue}{(\ast)}}{=} 3 (\tan^2 x + 1) (\tan^2 x -1) + 3 \\ &= 3 \Big((\tan^2 x)^2 - 1^2 \Big) + 3 \\ &= 3 \tan^4 x - 3 + 3 \\ &= 3 \tan^4 x . \end{align*} $$

Answer 3

Uno de los resultados del Valor medio Teorema es que si dos funciones tienen la misma derivada, entonces la difieren por una constante. O, en mathy hablar, si $f'(x)=g'(x)$, entonces hay un número$C$, de modo que $f(x)=g(x)+C$. Si usted toma un derivado de la $f(x)=3\tan^2(x)\sec^2(x)-3\sec^2(x)+3$, obtendrá

$$ f'(x)=6(\tan(x)\s^4(x)+\bronceado^3(x)\s^2(x)-\s^2(x)\tan(x). $$

Obtención de los denominadores comunes y el uso de $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ esto se convierte en

$$ \frac{12\sin^3(x)}{\cos^5(x)}=12\bronceado^3(x)\s^2(x). $$

Pero, el lado derecho es la derivada de la $3\tan^4(x)$. Por lo tanto, hay algunos $C$ que hace $f(x)=3\tan^4(x)+C$. Simplemente enchufe en $x=0$ a ver que $C=0$.