Condiciones suficientes para la simetría de un producto arbitrario de matrices reales, simétricas y semidefinidas positivas

Question

Es sencillo demostrar que el producto $A_1 A_2\cdots A_k$ de $k$ (diferentes) matrices simétricas, reales y semidefinidas positivas es también simétrica si $A_i A_j=A_j A_i$ para todos $i,j$ . Además, es bien sabido que para el caso $k=2$ esta condición de conmutatividad por pares es también una condición suficiente para la simetría del producto de la matriz.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Existe un resultado para $k>2$ sobre las condiciones suficientes para la simetría del producto $A_1 A_2\cdots A_k$ de $k$ ¿matrices simétricas, reales y semidefinidas positivas? Tengo un conjunto de $k$ matrices cuyo producto sé que es simétrico, pero me gustaría saber si hay algún resultado en la literatura que ponga alguna restricción a las matrices individuales $A_i$ . Sospecho que tiene que ver con la conmutatividad de pares, pero no he podido averiguarlo.

Gracias de antemano por cualquier idea.

Answer 1

Para su primer párrafo, el resultado no se limita a $k=2$ . Si cada $A_i$ conmuta con cada $A_j$ entonces tiene sentido escribir el producto como $$\prod_nA_n$$ ya que el orden no importa. Dado que cada $A_n$ es simétrico tenemos $$\left(\prod_nA_n\right)^\top=\prod_nA_n^\top=\prod_nA_n$$ Por lo tanto, esto también da una respuesta a su pregunta, a saber, que la conmutatividad por pares es una condición suficiente con matrices simétricas. Ahora bien, si iniciar con el conocimiento de que el producto es simétrico, esto no implicaría que cada uno conmute con el otro.