Atascado con la combinación y el problema de las tarjetas

Question

Estoy atascado con la pregunta, ¿De cuántas maneras se puede elegir,
un 9, una tarjeta roja con un valor > 9
o una carta negra con un valor < 6,
de una baraja de cartas . Ahora mi amigo lo resolvió de la siguiente manera, 4 + 10 + 8 = 22 formas.
Pero creo que la respuesta debería ser,
52C4 + 52C10 + 52C8.
¿Puede alguien ayudarme con esto?

Gracias

Answer 1

La respuesta $\binom{52}{4} + \binom{52}{10} + \binom{52}{8}$ es incorrecto.

Parece que el argumento es "hay cuatro $9$ s, hay 10 cartas rojas con valor superior a 9, hay 8 cartas negras con valor inferior a 6, así que tengo que elegir 4 de entre las 52 cartas, o 10 de entre las 52 cartas, u 8 de entre las 52 cartas".

Esa línea de pensamiento es incorrecta: $\binom{52}{4}$ te dice todas las maneras de coger cuatro cartas de la baraja, no te dice de cuántas maneras tienes que coger un 9. Lo mismo para los otros sumandos.

Su amigo tiene razón. Como las tres categorías se excluyen mutuamente (ninguna carta puede ser simultáneamente dos de "un nueve", "una carta roja con valor superior a 9" y "una carta negra con valor inferior a 6"), lo único que hay que hacer es contar cuántas cartas hay en cada categoría y sumarlas todas.