Compatibilidad de homomorfismos y mapas cocientes de grupos abelianos

Question

Supongamos que $A$ y $C$ son grupos abelianos con subgrupos $A'$ y $C'$ respectivamente. Sea $f:A\to C$ sea un homomorfismo de grupo. Me preguntaba si las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Existe un homomorfismo $g:A'\to C'$ tal que $fi=jg.$
2. Existe un homomorfismo $h:A/A'\to C/C'$ tal que $hp=qf.$

$$\begin{array} AA' & \stackrel{i}{\longrightarrow} & A & \stackrel{p}{\longrightarrow} & A/A'\\ \downarrow{g} & & \downarrow{f} & & \downarrow{h} \\ C' & \stackrel{j}{\longrightarrow} & C & \stackrel{q}{\longrightarrow} & C/C' \end{array} $$

donde $i$ y $j$ son inclusiones, y $p$ y $q$ son proyecciones.

Me parece que (1) significa la restricción de $f$ a $A'$ es g, así que para demostrar que (1) implica (2), defino $h(a+A')=f(a)+g(A')$ . Pero $g(A')\neq C'$ en general, y estoy confundido sobre si hice la definición correcta.

Answer 1

Sí, estas afirmaciones son equivalentes, y tu planteamiento es correcto. Sólo hay que tener en cuenta que para describir un elemento de $C/C^{\prime}$ cuando este último es realizado por $C^{\prime}$ -cosetas en $C$ , tienes que poner $h(a + A^{\prime}) := f(a) + C^{\prime}$ . Sin embargo, de forma más conceptual se debería intentar demostrar la equivalencia utilizando sólo las propiedades universales del núcleo y del cokernel - esto tiene la ventaja de generalizar directamente a categorías abelianas arbitrarias.

Answer 2

Para (2) $\Rightarrow$ (1):

Toma $a'\in A'$ queremos definir un elemento en $C'$ . El único mapa disponible para usar es $i:A'\to A$ que te lleva a $A$ . Como he mencionado en el comentario, una forma de conseguir algo en $C'$ es conseguir $[0]=0+C'\in C/C'$ . Así que empujamos nuestro elemento $i(a')\in A$ al elemento en $C/C'$ sólo hay una manera de hacerlo: así que tienes $qfi(a')=hpi(a)\in C/C'$ .

Tenga en cuenta que $pi=0$ Así que $hpi(a)=q(fi(a))=[0]$ . Por lo tanto, $fi(a)\in \ker(q)=\text{im}(j)$ . Es decir, hay algo de $c'\in C'$ tal que $j(c')=fi(a)$ .

Si hay otro $c''\in C'$ con $j(c'')=fi(a)$ entonces $j(c'')=j(c')$ pero $j$ inyectiva, por lo que $c''=c'$ . Por lo tanto, la asignación $h:a'\mapsto c'$ está bien definida. En particular, se obtiene (1).

(1) $\Rightarrow$ (2) es el argumento "dual"; le dejaré que lo intente de nuevo.

Cuando hayas terminado el ejercicio, quizás sea bueno echar un vistazo a "pullback y pushforward". Puedes encontrarlos en la mayoría de los libros de texto de álgebra homológica.