Dado $x-\sqrt {\dfrac {8}{x}}=9$ ¿Qué es? $x-\sqrt{8x}$ ¿Igual?

Question

Dado $x-\sqrt {\dfrac {8}{x}}=9$ ¿Qué es? $x-\sqrt{8x}$ ¿Igual?

Mi intento: Tenemos \begin{align} x-\sqrt {\dfrac {8}{x}}=9 \implies -\sqrt {\dfrac {8}{x}}=9-x \implies \dfrac {8}{x}=(9-x)^2 \end{align}

¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

A partir de lo que ha escrito vemos rápidamente que $$0=x^3-18x^2+81x-8=(x-8)(x^2-10x+1)$$

Es fácil ver que $x\neq 8$ por lo que debemos tener $\boxed {x^2-10x+1=0}$

Ahora, vuelve a la ecuación original. Multiplica por $x$ para conseguir $$x^2-\sqrt {8x}=9x\implies x-\sqrt {8x}=10x-x^2$$

Pero la ecuación de la caja nos dice que $10x-x^2=1$ así que $$\boxed {x-\sqrt {8x}=1}$$

Answer 2

Dejemos que $x=t^2,$ donde $t>0$ .

Así, $$t^3-9t-\sqrt8=0$$ o $$t^3+\sqrt8t^2-\sqrt8t^2-8t-t-\sqrt8=0$$ o $$(t+\sqrt8)(t^2-\sqrt8t-1)=0$$ o $$x-\sqrt{8x}=1.$$

Answer 3

$x-\dfrac {\sqrt {8x}}{x}=9,\Rightarrow x^{2}-\sqrt {8x}=9x$ $\begin{aligned}x^{2}-9x=\sqrt {8x}\\ x^{2}-8x=\sqrt {8x}+x\\ \left( x-\sqrt {8x}\right) \left( x+\sqrt {8x}\right) =\sqrt {8x}+x\\ x -\sqrt {8x}=1\end{aligned}$