Formalización de la descripción definida (Russell)

Question

Así pues, hemos estado formalizando mucho las descripciones definidas según Russell, donde tomamos la Descripción Definida como predicado en lugar de designador.

Así, he formalizado frases como "The major of london ......" con este tipo de predicado:

Mx: x es un mayor de Londres

Pero, mi pregunta es si puedo formalizar esto aún más.

En un examen reciente, por costumbre, hice esta clave (porque una vez me dijeron "cuanto más formalicemos, mejor"):

Mxy: x es un mayor de y

l: Londres

Pero en retrospectiva me temo que esto puede haber sido un error ...

He traducido la frase "El alcalde de Londres es feliz" como

$$ \exists x \Big(Mxl \land \forall y(Myl \rightarrow y=x) \land Hx \Big)$$ pero, como se ha dicho, me temo que esto es en cambio correcto: $$ \exists x \Big(Mx \land \forall y(My \rightarrow y=x) \land Hx \Big)$$ donde Mx significa "x es un mayor de Londres".

¿Alguna idea? No encuentro ningún sitio en internet que diga algo sobre esto. Los únicos ejemplos que encuentro son del segundo estilo, por eso me preocupa.

Gracias :)

Answer 1

Un buen principio para formalizar es exponer toda la estructura lógica que sea relevante para el caso en cuestión .

Supongamos que sólo te interesa el argumento "Boris es el alcalde de Londres". Si Boris es el alcalde de Londres, los negocios no se asustarán. Así que los negocios no se asustarán". Toda la estructura que necesitas exponer para demostrar que este argumento es válido se revela en $P, P\to Q \therefore Q$ .

Supongamos que a continuación nos interesa el argumento "Boris es rubio, Boris es el actual alcalde de Londres, así que quien es el actual alcalde de Londres es rubio". Aquí sí hay que exponer algo más de estructura, pero hablar de alcaldes sólo aparece en el contexto "es el actual alcalde de Londres". Entonces también se podría tratar "es el actual alcalde de Londres" como un todo fundido, sin estructura interna localmente significativa, y simbolizar "Boris es el actual alcalde de Londres" como $Mb$ .

Pero supongamos que quieres formalizar el argumento "Boris es el alcalde de Londres, Bill es el alcalde de Nueva York; diferentes ciudades tienen diferentes alcaldes, Londres no es Nueva York, por lo tanto Boris no es Bill". Entonces, evidentemente, tendrá que exponer la estructura relacional en la afirmación "Boris es alcalde de Londres", y formalizarla como $Mbl$ .

Por tanto, no hay una formalización "correcta" para "Boris es alcalde de Londres" o "Boris es el alcalde de Londres": la cantidad de estructura lógica que se exponga en la formalización dependerá del contexto.

Answer 2

Al modificar el predicado $M$ para significar " $x$ es un alcalde de $y$ " (en el segundo cuadro gris), la notación debería haber pasado a ser $Mxy$ en lugar de $Mx$ . Aparte de eso, la formalización que propones me parece bien.