¿Existe una fórmula de suma parcial para la serie armónica?

Question

Hay una fórmula de suma parcial para$$\sum_{x=1}^n x^1 = \frac{n(n+1)}{2}$$ and even one when the exponent of $ x$ is $ 0$: $$\sum_{x=1}^n x^0 = n$$ but I cannot find one for exponent $ - 1$: $$\sum_{x=1}^n x^{-1} = ?$PS

Intenté$$\frac2{n(n+1)},$ $ pero fallé estrepitosamente.

Answer 1

No, no existe una forma cerrada agradable para los números armónicos . Hay algunas aproximaciones muy precisas que se calculan fácilmente;

PS

es bastante bueno, donde$$H_n\approx\ln n+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}$ es la constante de Euler-Mascheroni .